[논문 리뷰] Higher-order Lie bracket approximation and averaging of control-affine systems with application to extremum seeking

Sameer Pokhrel, Sameh A. Eisa|arXiv (Cornell University)|2023. 10. 11.

Extremum Seeking Control Systems인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 연속적 미분법을 사용하여 제어-아핀 시스템에서 고차수 리 괄호 근사와 고차수 평균화 사이의 엄밀한 연결고리를 확립한다. 이를 통해 n차수 리 괄호 근사가 (n+1)차수 평균화 항에 해당됨을 증명한다. 이 틀은 이전 연구에서 검증되지 않은 가정을 제거하고, 성능 최적화를 위한 고차수 동역학을 드러내어 극값 탐색에서 더 빠른 수렴을 가능하게 한다.

ABSTRACT

This paper provides a rigorous derivation for what is known in the literature as the Lie bracket approximation of control-affine systems in a more general and sequential framework for higher-orders. In fact, by using chronological calculus, we show that said Lie bracket approximations can be derived, and considered, as higher-order averaging terms. Hence, the theory provided in this paper unifies both averaging and approximation theories of control-affine systems. In particular, the Lie bracket approximation of order ($n$) turns out to be a higher-order averaging of order ($n+1$). The derivation and formulation provided in this paper can be directly reduced to the first and second-order Lie bracket approximations available in the literature. However, we do not need to make many of the unproven assumptions provided in the literature and show that they are in fact natural corollaries from our work. Moreover, we use our results to show that important and useful information about control-affine extremum seeking systems can be obtained and used for significant performance improvement, including a faster convergence rate influenced by higher-order derivatives. We provide multiple numerical simulations to demonstrate both the conceptual elements of this work as well as the significance of our results on extremum seeking with comparison against the literature.

연구 동기 및 목표

• 연속적 미분법을 사용하여 제어-아핀 시스템에서 리 괄호 근사의 엄밀한 유도를 제공한다.
• 리 괄호 근사가 고차수 평균화 항임을 보여줌으로써 평균화 이론과 근사 이론 사이의 격차를 메운다.
• 제안된 틀에서 자연스러운 추론으로 유도되는 결과로서 이전 문헌에서 검증되지 않은 가정을 제거한다.
• 고차수 동역학을 드러내어 제어 설계에 활용함으로써 성능 향상을 이룰 수 있도록 결과를 극값 탐색 시스템에 적용한다.
• 기존 문헌과의 비교를 통해 수치 시뮬레이션을 통해 이론적 발견을 검증한다.

제안 방법

• 시간에 따라 변하는 제어-아핀 시스템에서 고차수 리 괄호 근사를 체계적으로 유도하기 위해 연속적 미분법을 사용한다.
• n차수 리 괄호 근사가 (n+1)차수 평균화 항과 동치임을 유도하여 공식적인 계층을 수립한다.
• 반복된 리 괄호와 시간 평균 계수로 표현된 제어-아phin 극값 탐색 시스템에 이 틀을 적용한다.
• 주기 동안의 반복 괄호 및 적분을 통해 고차수 평균화 항(최대 4차수까지)을 계산하여 평균화된 벡터장에 대한 명시적 표현을 도출한다.
• 실제 응용을 가능하게 하기 위해 ω^(p*-1)를 포함하는 스케일링 인자를 사용하여 결과를 빠른 시간 스케일에서 느린 시간 스케일로 변환한다.
• 4차수 평균화 시스템에 대한 명시적 공식을 유도하며, 삼각함수 곱의 적분과 제어 입력 변조를 포함한 계수를 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제어-아핀 시스템에서 리 괄호 근사는 어떻게 고차수 평균화 이론과 엄밀하게 연결될 수 있는가?
• RQ2 리 괄호 근사가 고차수 평균화 항으로 나타나는 정확한 수학적 조건은 무엇인가?
• RQ3 이전 문헌에서 검증되지 않은 리 괄호 근사에 대한 가정들은 더 일반적인 틀에서 자연스러운 추론으로 도출될 수 있는가?
• RQ4 고차수 평균화 항은 어떻게 극값 탐색 제어 시스템의 수렴 속도를 향상시킬 수 있는가?
• RQ5 반복된 리 괄호와 제어 입력 변조를 기반으로 한 4차수 평균화 시스템의 구조는 어떠한가?

주요 결과

• n차수 리 괄호 근사는 제어-아핀 시스템에서 (n+1)차수 평균화 항과 엄밀하게 동치임이 입증되었다.
• 이 틀은 연속적 미분법의 자연스러운 결과로서 이전 연구에서의 임의의 가정을 제거한다.
• 4차수 평균화 시스템은 명시적으로 도출되었으며, 이중 및 삼중 리 괄호와 ω^(p_i + p_j + p_k + p_l - 3)에 의존하는 계수를 포함한다.
• 유도된 4차수 평균화 항은 [ [b_i, b_j], [b_k, b_l] ], [ [[b_i, b_j], b_k], b_l ], 및 [ b_l, [[b_i, b_j], b_k] ]의 기여를 포함하며, 시간 평균 계수를 갖는다.
• 고차수 동역학을 드러내어 제어기 설계에 활용함으로써 극값 탐색에서 더 빠른 수렴이 가능해진다.
• 수치 시뮬레이션은 고차수 항의 중요성을 입증하며, 기존의 1차 및 2차 근사보다 향상된 성능을 보여준다.