[논문 리뷰] Higher order log-monotonicity of combinatorial sequences

Bao-Xuan Zhu|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 24.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 삼항 선형 재귀관계를 이용하여 조합 수열의 고차 비율 로그 볼록성(비율 로그 볼록성)을 분석하는 새로운 방법을 제안한다. 유도수, 모츠킨 수, 파인 수, 프라넬 수, 도브 수의 비율 수열이 비율 로그 볼록성을 띠며, 특정 조건 하에서 유도수와 일반화된 이항계수의 무한 로그 볼록성을 입증한다. 이는 캐탈란 수와 중심 이항계수에 대한 이전 결과를 확장한다.

ABSTRACT

A sequence $\{z_n\}_{n\geq0}$ is called ratio log-convex in the sense that the ratio sequence $\{\frac{z_{n+1}}{z_n}\}_{n\geq0}$ is log-convex. Based on a three-term recurrence for sequences, we develop techniques for dealing with the ratio log-convexity of ratio sequences. As applications, we prove that the ratio sequences of numbers, including the derangement numbers, the Motzkin numbers, the Fine numbers, Franel numbers and the Domb numbers are ratio log-convex, respectively. Finally, we not only prove that the sequence of derangement numbers is asymptotically infinitely log-monotonic, but also show some infinite log-monotonicity of some numbers related to the Gamma function, in particular, implying two results of Chen {\it et al.} on the infinite log-monotonicity of the Catalan numbers and the central binomial coefficients.

연구 동기 및 목표

• 조합 수열에서 고차 로그 볼록성을 체계적으로 분석하는 방법을 개발하는 것.
• 유도수, 모츠킨 수, 파인 수, 프라넬 수, 도브 수와 같은 주요 조합 수의 비율 수열의 비율 로그 볼록성을 조사하는 것.
• 청 등이 캐틀란 수와 중심 이항계수에 대해 확립한 무한 로그 볼록성 결과를 유도수와 일반화된 이항계수로 확장하는 것.
• 변수 계수를 가진 선형 재귀로 정의된 수열의 로그 볼록성을 검증하는 통합 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 삼항 선형 재귀관계 $ z_{n+1} = a_n z_n + b_n z_{n-1} $ 를 이용해 비율 로그 볼록성에 대한 재귀 기반 기준을 개발한다.
• 비율 로그 볼록성을 검증하기 위해 $ f(x) = [(a_{n+1}a_n + b_{n+1})x + a_{n+1}b_n](x - a_{n-1})x^6 - b_{n-1}(a_n x + b_n)^4 $ 를 포함하는 함수 부등식 조건을 도입한다.
• 이 기준을 적용하여 유도수, 모츠킨 수, 파인 수, 프라넬 수, 도브 수의 비율 수열이 비율 로그 볼록성을 띠는 것을 증명한다.
• 청 등이 $ [ ext{log} f(x)]^{(n)} $ 가 완전히 단조감소하면 수열 $ f(n) $ 이 무한히 로그 볼록성을 띤다는 결과를 활용한다.
• 조건 $ a \geq b + \overline{b} $ 와 $ -1 \leq k_0 - (n_0+1)b/a \leq 0 $ 하에서 일반화된 이항계수 $ C_i = \frac{(n_0 + ia)!}{(k_0 + ib)! (\overline{k_0} + i\overline{b})!} $ 에 이 기준을 적용한다.
• 다양한 다이감마 함수의 적분 표현을 활용하여 감마 함수 표현의 로그 미분의 $ n $ 번째 도함수를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유도수, 모츠킨 수, 파인 수, 프라넬 수, 도브 수의 비율 수열은 비율 로그 볼록성을 띠는가?
• RQ2 유도수 수열은 무한히 로그 볼록한가?
• RQ3 일반화된 이항계수 수열 $ \binom{n_0 + id}{k_0 + i\delta} $ 가 무한히 로그 볼록성이 되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 캐틀란 수와 중심 이항계수의 무한 로그 볼록성 결과는 다른 조합 수열으로 확장될 수 있는가?
• RQ5 선형 재귀 수열의 비율 수열이 자체적으로 로그 볼록성이 되기 위한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 유도수 수열의 비율 수열은 비율 로그 볼록성을 띠며, 점근적으로 무한히 로그 볼록성을 띤다.
• 모츠킨 수, 파인 수, 프라넬 수, 도브 수의 비율 수열은 모두 비율 로그 볼록성을 띤다.
• 유도수 수열이 무한히 로그 볼록성임을 증명하였으며, 이는 캐틀란 수와 중심 이항계수에 대한 이전 결과를 확장한다.
• 조건 $ a \geq b + \overline{b} $ 와 $ -1 \leq k_0 - (n_0+1)b/a \leq 0 $ 를 만족할 경우 일반화된 이항계수 수열 $ C_i = \frac{(n_0 + ia)!}{(k_0 + ib)! (\overline{k_0} + i\overline{b})!} $ 는 무한히 로그 볼록성을 띤다.
• 푸스-캐틀란 수 $ C_p(n) = \frac{1}{(p-1)n+1} \binom{pn}{n} $ 는 모든 정수 $ p \geq 2 $ 에 대해 무한히 로그 볼록성을 띤다.