[논문 리뷰] Higher-Order Numerical Solutions of the Fractional Relaxation-Oscillation Equation using Fractional Integration

Yuri Dimitrov|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 29.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 분수계수 $\alpha$, $1+\alpha$, $2+\alpha$, $3+\alpha$, $4+\alpha$에 대한 분수적 적분에 대해 트라프레지oidal 규칙의 점근 전개를 사용하여 분수적 감쇠-진동 방정식을 해결하기 위한 고차수 수치적 방법을 제시한다. 오일러-마클라우린 전개와 제타 함수 항등식을 활용함으로써, 관측된 정확도 순서가 분수적 순서에 대해 최대 4.5에 이르며, 기존 표준 방법에 비해 크게 향상된 스펙트럼 유사 수렴 속도를 달성한다.

ABSTRACT

In the present paper we derive the asymptotic expansion formula for the trapezoidal approximation of the fractional integral. We use the expansion formula to obtain approximations for the fractional integral of order $α,1+α,2+α,3+α$ and $4+α$. The approximations are applied for computing the numerical solutions of the fractional relaxation-oscillation equation.

연구 동기 및 목표

• 분수적 적분 근사의 정확도를 향상시켜 분수적 미분 방정식을 위한 고차수 수치적 방법을 개발한다.
• 감쇠-진동 방정식을 해결하기 위한 표준 분수적 적분 기법에서 낮은 수렴 속도 문제를 해결한다.
• 임의의 순서에 대한 분수적 적분에 적용된 트라프레지oidal 규칙의 점근 오차 전개를 유도한다.
• 유도된 계수 공식을 사용하여 분수적 감쇠-진동 방정식에 대한 안정적이고 고차수의 시간 스텝 스킴을 구성한다.

제안 방법

• 오일러-마클라우린 공식과 베르누이 수를 사용하여 분수적 적분에 대한 트라프레지oidal 규칙의 점근 전개를 유도한다.
• 순서 $\alpha$의 분수적 적분을 제타 함수와 감마 함수에서 유도된 계수를 포함하는 함수 값의 가중합으로 표현한다.
• 리만 제타 함수와 다이감마 함수의 함수 방정식을 사용하여 고차수 근사에 대한 계수를 계산한다.
• 유도된 근사치를 분수적 감쇠-진동 방정식에 적용하여 국소 절단 오차가 $O(h^{4+\alpha})$인 선형 다단계 스킴을 도출한다.
• 제타 함수가 음의 정수에서의 값들을 사용하여 $I^{\alpha}$, $I^{1+\alpha}$, $I^{2+\alpha}$, $I^{3+\alpha}$, $I^{4+\alpha}$에 대한 계수 공식을 유도한다.
• 과거 값과 $1/k^{1-\alpha}$의 가중치를 가진 콘볼루션 합을 포함하는 재귀 관계를 통해 $u_n$을 갱신하는 수치적 스킴을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수적 적분에 대한 트라프레지oidal 규칙은 점근 전개를 사용하여 체계적으로 고차수 정확도로 확장될 수 있는가?
• RQ2 순서 $\alpha$, $1+\alpha$, $2+\alpha$, $3+\alpha$, $4+\alpha$에 대한 분수적 적분의 트라프레지oidal 근사에서 보정 항의 해석적 표현은 무엇인가?
• RQ3 사용된 구적 규칙에 고차수 도함수를 포함할 경우, 분수적 미분 방정식의 수치적 해법의 수렴 속도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 이러한 향상된 분수적 적분 근사치를 사용할 때, 분수적 감쇠-진동 방정식의 수치적 해법에서 달성 가능한 정확도 순서는 얼마인가?
• RQ5 이 방법은 분수적 순서 $\alpha \in (0,2)$ 전반에 걸쳐 안정성과 고수렴 속도를 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 표본 8에서 $\alpha = 0.65$일 때, 제안된 방법은 분수적 감쇠-진동 방정식에 대해 약 4.5의 수렴 순서를 달성한다.
• $\alpha = 1.65$일 경우, 스킴은 수렴 순서 4.6233를 달성하여 고차수 분수 도함수에 대해서도 높은 정밀도를 보인다.
• 식 3[9]에서 $\alpha = 0.6$일 때의 최대 오차는 $h$를 네 번 반으로 나누었을 때 $1.9 \times 10^{-11}$에서 $1.4 \times 10^{-15}$로 감소하여 $O(h^{4.5})$ 수렴 경향을 확인한다.
• 4+\alpha 순서 스킴의 계수 공식은 음의 정수에서의 제타 함수를 포함하며, $c_0 = \frac{11}{6}\zeta(-\alpha) - \zeta(-1-\alpha) + \frac{1}{6}\zeta(-2-\alpha) - \zeta(1-\alpha)$로 표현되어 고차수 정확도를 보장한다.
• 4+\alpha 경우의 수치적 스킴은 안정성을 유지하며, $\alpha = 0.4$, $h = 0.003125$일 때 최대 오차 $1.9 \times 10^{-13}$를 기록하고 수렴 순서 4.3873를 달성한다.
• 이 방법은 저차수 스킴보다 뛰어나며, $\alpha < 1$일 경우 관측된 수렴 순서가 항상 3.3 이상이고, $\alpha > 1$일 경우 4.1 이상으로 유지되어 다양한 분수적 순서에 걸쳐 뛰어난 안정성과 성능을 보여준다.