[논문 리뷰] Higher order regionally proximal equivalence relations for general minimal group actions

Eli Glasner, Yonatan Gutman외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 22.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 최소 군 작용에 대해 고차수의 영항성 지역적 근접 관계 $\mathbf{NRP}^{[d]}(X)$를 도입하며, 아벨 군을 초월해 호스트–크라–모스 관계를 일반화한다. 이 관계가 모든 최소 작용에 대해 동치관계임을 증명하고, 이는 최대 순수 $d$차 nil인자와 대응되며, 타오의 질문을 해결하고, 엔veloping semigroup 접근법을 통해 샤오와 예의 결과를 비아벨 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

We introduce higher order regionally proximal relations suitable for an arbitrary acting group. For minimal abelian group actions, these relations coincide with the ones introduced by Host, Kra and Maass. Our main result is that these relations are equivalence relations whenever the action is minimal. This was known for abelian actions by a result of Shao and Ye. We also show that these relations lift through extensions between minimal systems. Answering a question by Tao, given a minimal system, we prove that the regionally proximal equivalence relation of order $d$ corresponds to the maximal dynamical Antolín Camarena--Szegedy nilspace factor of order at most $d$. In particular the regionally proximal equivalence relation of order one corresponds to the maximal abelian group factor. Finally by using a result of Gutman, Manners and Varjú under some restrictions on the acting group, it follows that the regionally proximal equivalence relation of order $d$ corresponds to the maximal pronilfactor of order at most $d$ (a factor which is an inverse limit of nilsystems of order at most $d$).

연구 동기 및 목표

• 아벨 군 작용으로부터의 호스트–크라–모스 고차수 지역적 근접 관계를 아벨이 아닌 일반 군 작용으로 일반화하기.
• 모든 최소 작용에 대해 $\mathbf{NRP}^{[d]}(X)$가 동치관계임을 증명하기, 비아벨 군에 대해서도 성립함을 보장하기.
• $\mathbf{NRP}^{[d]}(X)$가 최소 시스템 간 확장에 대해 유지됨을 보이기.
• $\mathbf{NRP}^{[d]}(X)$가 최대 동적 안토린 카마레나–수에게디 $d$차 nilspace 인자와 대응됨을 증명하여, 타오의 질문에 답하기.
• 군의 제약 조건 하에서 $\mathbf{NRP}^{[d]}(X)$가 최대 순수 $d$차 nil인자와 연결됨을 보이며, 구트만, 만너스, 바르주의 결과를 활용하기.

제안 방법

• $\mathbf{NRP}^{[d]}(X)$를 큐브 구조와 호스트–크라–모스 프레임워크를 사용해 닫혀 있고 $G$-불변인 관계로 정의함으로써 아벨 경우를 일반화하기.
• 엔veloping semigroup 접근법을 사용해 $\mathbf{NRP}^{[d]}(X)$가 동치관계임을 증명하며, 엘리스–글라스너–샤피로의 구조 이론을 피하는 직접적 증명을 제공하기.
• 확장에 대해 $\mathbf{NRP}^{[d]}(X)$가 유지됨을 활용함: 확장 $\pi: X \to Y$에 대해 $\pi \times \pi(\mathbf{NRP}^{[d]}(X)) = \mathbf{NRP}^{[d]}(Y)$.
• $\mathbf{NRP}^{[d]}(X) = \Delta$이면且 $X$가 최대 $d$차 시스템임을 보이며, 이는 인자 $X / \mathbf{NRP}^{[d]}(X)$가 최대의 그러한 인자임을 의미함.
• nailspace와 cubespaces 이론을 적용해 $\mathbf{NRP}^{[d]}(X)$를 큐브 집합 $C_G^{[d+1]}(X)$를 통해 특성화함: $\mathbf{NRP}^{[d]}(X) = \{ (x,y) \mid \urcorner^{[d+1]}(x,y) \in C_G^{[d+1]}(X) \}$.
• 구트만, 만너스, 바르주의 결과를 적용해, 군 조건이 만족될 경우 $X / \mathbf{NRP}^{[d]}(X)$가 최대 $d$차 순수 nil인자임을 유추함, 즉 $\leq d$차 nilsystem의 역극한임을 보임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차수 지역적 근접 관계를 아벨 군 작용을 초월해 의미 있게 확장할 수 있는가?
• RQ2 $\mathbf{NRP}^{[d]}(X)$가 일반 군의 모든 최소 작용에 대해 동치관계인가?
• RQ3 $\mathbf{NRP}^{[d]}(X)$가 최대 $d$차 nilspace 인자와 대응되는가?
• RQ4 $\mathbf{NRP}^{[d]}(X)$는 최소 시스템 간 확장에서 어떻게 행동하는가?
• RQ5 $\mathbf{NRP}^{[d]}(X)$가 어떤 조건에서 최대 $d$차 순수 nil인자와 대응되는가?

주요 결과

• 모든 최소 시스템 $(G,X)$에 대해 $\mathbf{NRP}^{[d]}(X)$는 동치관계이며, $G$가 비아벨일 경우에도 성립함.
• $G$가 아벨일 경우 $\mathbf{NRP}^{[d]}(X)$는 호스트–크라–모스의 고차수 지역적 근접 관계와 일치함.
• 인자 $X / \mathbf{NRP}^{[d]}(X)$는 $\mathbf{NRP}^{[d]}$가 자명한 최대 인자이므로, 최대 $d$차 시스템임을 의미함.
• $\mathbf{NRP}^{[d]}(X)$는 최대 동적 안토린 카마레나–수에게디 $d$차 nilspace 인자와 대응되며, 타오의 질문과 관련된 추측을 확인함.
• $G$가 컴act 군에 의해 조밀하게 생성되는 부분군을 가질 경우, $X / \mathbf{NRP}^{[d]}(X)$는 최대 $d$차 순수 nil인자이자, $\leq d$차 nilsystem의 역극한임을 보임.
• $\mathbf{NRP}^{[d]}(X)$는 큐브 조건으로 특성화됨: $(x,y) \in \mathbf{NRP}^{[d]}(X)$이면且 $\urcorner^{[d+1]}(x,y) \in C_G^{[d+1]}(X)$.