[논문 리뷰] Higher order tangents and Higher order Laplacians on Sierpinski Gasket Type Fractals

Shiping Cao, Hua Qiu|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 26.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 3인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 D3 또는 D4 대칭을 가진 p.c.f. 프랙탈, 예를 들어 시어르피ńsk리 가스켓과 같은 프랙탈에서 고차수의 탄젠트와 라플라스 연산자 이론을 수립한다. 고차수의 약한 탄젠트가 정점 근처에서 함수와 일치하는 국소 다중조화 함수들의 균일한 극한임을 증명하며, 고차수의 라플라스 연산자는 균일한 극한으로서 재정규화된 그래프 라플라스 연산자의 극한으로 나타남을 보인다. 이는 타일러 다항식과 유사한 국소 단항식을 이용한다.

ABSTRACT

We study higher order tangents and higher order Laplacians on p.c.f. self-similar sets with fully symmetric structures, such as $D3$ or $D4$ symmetric fractals. Firstly, let $x$ be a vertex point in the graphs that approximate the fractal, we prove that for any $f$ defined near $x$, the higher oder weak tangent of $f$ at $x$, if exists, is the uniform limit of local multiharmonic functions that agree with $f$ in some sense near $x$. Secondly, we prove that the higher order Laplacian on a fractal can be expressible as a renormalized uniform limit of higher order graph Laplacians on the graphs that approximate the fractal. The main technical tool is the theory of local multiharmonic functions and local monomials analogous to $(x-x_0)^j/j!$. The results in this paper are closely related to the theory of local Taylor approximations, splines and entire analytic functions. Some of our results can be extended to general p.c.f. fractals. In Appendix of the paper, we provide a recursion algorithm for the exact calculations of the boundary values of the monomials for $D3$ or $D4$ symmetric fractals, which is shorter and more direct than the previous work on the Sierpinski gasket.

연구 동기 및 목표

• 프랙탈, 특히 정점에서의 고차수 도함수와 라플라스 연산자에 대한 열린 문제를 해결하기 위해.
• 프랙탈에서 타일러 다항식과 유사한 국소 다중조화 함수와 단항식의 이론을 개발하기 위해.
• 함수와 정점 근처에서 일치하는 다중조화 함수들의 균일한 극한으로서 고차수 탄젠트를 표현하기 위해.
• 근사 그래프에서의 재정규화된 극한으로서 고차수 라플라스 연산자가 표현될 수 있음을 보여주기 위해.
• D4 대칭을 포함한 일반적인 p.c.f. 프랙탈로 결과를 확장하기 위해.

제안 방법

• 고전적 해석학에서의 $ (x - x_0)^j / j! $ 와 유사하게 정점 근처에서 국소 단항식을 도입하여 국소 다중조화 함수의 기저로 사용한다.
• 국소 다중조화 함수 이론을 활용해 정점 근처에서 $ f $ 와 일치하는 함수들의 균일한 극한으로서 고차수의 약한 탄젠트를 구성한다.
• 근사 그래프 $ G_m $ 에서 고차수 그래프 라플라스 연산자를 정의하고, 그 재정규화된 극한이 균일하게 프랙탈 라플라스 연산자로 수렴함을 증명한다.
• 부록의 재귀 알고리즘을 적용해 D3 및 D4 대칭 프랙탈에서 단항식의 경계값을 이전 방법보다 더 효율적으로 계산한다.
• D3 및 D4 프랙탈의 완전한 대칭성을 활용해 조화 구조 및 고유값 문제 분석을 단순화한다.
• 가능한 한 대칭 기반 기법을 일반 p.c.f. 프랙탈로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 프랙탈의 정점에서 고차수 탄젠트는 정점 근처에서 함수 $ f $ 와 일치하는 국소 다중조화 함수들의 균일한 극한으로 표현될 수 있는가?
• RQ2 점 $ x $ 에서의 $ n $-차수 프랙탈 라플라스 연산자 $ \Delta_\mu^n f $ 는 점에 수렴하는 정점들에서의 $ f $ 의 값에 대한 선형 조합을 포함하는 점별 공식의 균일한 극한으로 표현될 수 있는가?
• RQ3 시어르피ńsk리 가스켓이나 테트라헤드럴 가스켓과 같은 대칭 프랙탈에서 국소 단항식의 경계값을 효율적으로 계산하는 방법은 무엇인가?
• RQ4 D3 대칭 프랙탈에 대한 결과는 다른 p.c.f. 프랙탈로 얼마나 일반화할 수 있는가?
• RQ5 단항식 전개에서 계수 $ \alpha_j $, $ \beta_j $ 의 渐近 행동은 무엇이며, 이는 라플라스 연산자의 고유값과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 정점에서의 고차수 약한 탄젠트는 정점 주변에서 $ f $ 와 일치하는 국소 다중조화 함수들의 균일한 극한으로서 표현되며, 이는 질문 1에 대한 긍정적 해답을 확인한다.
• 고차수 라플라스 연산자 $ \Delta_\mu^n f $ 는 근사 그래프 $ G_m $ 에서의 고차수 그래프 라플라스 연산자의 재정규화된 균일한 극한으로 표현 가능하며, 이는 질문 2에 대한 긍정적 해답이다.
• 시어르피ńsk리 가스켓 $ \mathcal{SG} $ 에서 단항식 기저의 계수 $ \alpha_j $, $ \beta_j $ 는 초지수적으로 감소하며, $ j=10 $ 에서 $ \alpha_j \sim 10^{-23} $ 수준이 되어 빠른 수렴을 나타낸다.
• 부록의 재귀 알고리즘은 이전 방법보다 단항식 경계값 계산을 더 효율적으로 수행하며, $ \mathcal{SG} $ 에서 $ j=15 $ 에서 수렴 속도가 안정화되는 것으로 관측된다.
• 비율 $ \alpha_{j-1}/\alpha_j $ 과 $ \beta_{j-1}/\beta_j $ 는 $ \mathcal{SG} $ 에서 약 $ -124.68 $, $ \mathcal{HG} $ 에서 약 $ -46.73 $, $ \mathcal{SG}^4 $ 에서 약 $ -338.81 $ 으로 수렴하며, 이는 단항식의 자기유사적 구조를 나타낸다.
• 결과는 테트라헤드럴 시어르피ńsk리 가스켓 및 비크세크 집합과 같은 D4 대칭 프랙탈로 확장되며, 이와 유사한 단항식 및 라플라스 연산자 구성이 가능하다.