[논문 리뷰] Higher-Order Topology of Three-Dimensional Strong Stiefel-Whitney Insulators

Junyeong Ahn, Bohm‐Jung Yang|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 12.

Topological Materials and Phenomena인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $C_{2z}T$ 대칭에 의해 보호되는 두 차원의 위상적 불변량인 두 번째 스티펠-블라시크 수가 3차원 위상적 고립체에서 $C_{2z}T$ 행렬 표현의 두 번째 호모토피류를 분류함을 확립한다. 이는 3D 강한 스티펠-블라시크 고립체—이전에 팽과 후에 의해 제안된 바 있음—가 양자화된 전자기율성 반응을 보이며, 동시에 나선형 히든 모드와 2차원 표면 디рак 페르미온을 나타내므로, 제1 및 제2 순서 위상적 특성을 통합함을 보여준다.

ABSTRACT

We study the homotopy classification of symmetry representations to describe the bulk topological invariants protected by the combined operation of a two-fold rotation $C_{2z}$ and time-reversal $T$ symmetries. We define topological invariants as obstructions to having smooth Bloch wave functions compatible with a momentum-independent symmetry representation. When the Bloch wave functions are required to be smooth, the information on the band topology is contained in the symmetry representation. This implies that the $d$-dimensional homotopy class of the unitary matrix representation of the symmetry operator corresponds to the $d$-dimensional topological invariants. Here, we prove that the second Stiefel-Whitney number, a two-dimensional topological invariant protected by $C_{2z}T$, is the homotopy invariant that characterizes the second homotopy class of the matrix representation of $C_{2z}T$. As an application of our result, we show that the three-dimensional bulk topological invariant for the $C_{2z}T$-protected topological crystalline insulator proposed by C. Fang and L. Fu in Phys. Rev. B 91, 161105(R) (2015), which we call the 3D strong Stiefel Whitney insulator, is identical to the quantized magnetoelectric polarizability. The bulk-boundary correspondence associated with the quantized magnetoelectric polarizability shows that the 3D strong Stiefel-Whitney insulator has chiral hinges states as well as 2D massless surface Dirac fermions. This shows that the 3D strong Stiefel Whitney insulator has the characteristics of both the first order and the second order topological insulators, simultaneously, which is consistent with the recent classification of higher-order topological insulators protected by an order-two symmetry.

연구 동기 및 목표

• 3차원 위상적 결정 고립체의 고체 위상 불변량을 $C_{2z}T$ 대칭에 의해 보호되는 조합에 기반해 분류하는 것.
• 대칭 표현의 연속성에 기반한 호모토피 이론 프레임워크를 구축하여 위상 불변량을 분류하는 것.
• 3D 강한 스티펠-블라시크 고립체 상태를 특징짓는 위상 불변량을 규명하는 것.
• 나선형 히든 모드와 표면 디рак 상태의 등장에 의해 이 불변량의 고체-경계 상응성을 입증하는 것.

제안 방법

• 저자들은 $C_{2z}T$ 대칭 하에서 블로흐 파동함수의 매끄러운 표현이 불가능한 장벽을 분석하기 위해 대칭 표현의 호모토피 분류를 사용한다.
• 그들은 위상 불변량을 동역학적 의존성 없는 대칭 표현의 장벽으로 정의하며, 이는 $C_{2z}T$의 유니터리 행렬 표현의 호모토피류와 연결된다.
• 두 번째 스티펠-블라시크 수는 $C_{2z}T$ 행렬 표현의 두 번째 호모토피류에 대응하는 위상 불변량으로 규명된다.
• 저자들은 대칭성과 위상수학적 추론을 통해 고체 내 불변량과 양자화된 전자기율성 반응 간의 상응성을 유도한다.
• 그들은 팽과 후(2015)가 제안한 3D 강한 스티펠-블라시크 고립체 모델에 이 분류를 적용하여 그 위상적 성격을 확인한다.
• 고체-경계 상응성이 나선형 히든 모드와 2차원 표면 디랙 페르미온의 동시 존재를 통해 검증된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3D 강한 스티펠-블라시크 고립체 상태를 특징짓는 위상 불변량은 무엇인가? ($C_{2z}T$ 대칭에 의해 보호됨)
• RQ2 두 번째 스티펠-블라시크 수는 $C_{2z}T$ 행렬 표현의 호모토피류와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 강한 스티펠-블라시크 고립체의 3D 고체 불변량은 양자화된 전자기율성 반응과 동치인가?
• RQ4 고체 불변량이 $C_{2z}T$ 대칭 하에서 예측하는 표면 및 히든 상태는 무엇인가?
• RQ5 이 시스템은 어떻게 제1 및 제2 순서 위상적 특성을 동시에 실현하는가?

주요 결과

• 두 번째 스티펠-블라시크 수가 $C_{2z}T$ 행렬 표현의 두 번째 호모토피류를 특징짓는 호모토피 불변량임이 증명되었다.
• 3D 강한 스티펠-블라시크 고립체의 고체 불변량이 양자화된 전자기율성 반응과 동치임이 입증되었다.
• 시스템은 나선형 히든 상태를 나타내어 제2 순서 위상적 행동을 나타낸다.
• 시스템은 2차원 질량이 없는 표면 디랙 페르미온을 수반하여 제1 순서 위상적 특성을 나타낸다.
• 히든 상태와 표면 상태의 동시 존재는 이 시스템이 제1 및 제2 순서 특성을 혼합한 고차원 위상적 고립체임을 확인한다.
• 이 분류는 최근의 2차 대칭에 의해 보호되는 고차원 위상적 고립체 프레임워크와 일관된다.