[논문 리뷰] Higher Order Tur\'an Inequalities for the Partition Function

William Y. C. Chen, Dennis X. Q. Jia외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 30.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 파artition 함수 $ p(n) $가 $ n \geq 95 $일 때 고차수 투란 부등식을 만족함을 증명하며, 하디-라마누잔-라데이처 수식을 사용하여 비율 $ p(n+1)p(n-1)/p(n)^2 $에 대한 날카운 bounds를 유도한다. 주요 결과는 $ n \geq 95 $일 때 관련 제닝스 다항식 $ g_{3,n-1}(x) $가 모두 실근을 가짐을 확인함으로써, $ p(n) $에 대한 고차수 제닝스 다항식의 실근성에 관한 더 넓은 추측을 지지한다.

ABSTRACT

The Tur\\'{a}n inequalities and the higher order Tur\\'{a}n inequalities arise in the study of Maclaurin coefficients of an entire function in the Laguerre-P\\'{o}lya class. A real sequence $\\{a_{n}\\}$ is said to satisfy the Tur\\'{a}n inequalities if for $n\\geq 1$, $a_n^2-a_{n-1}a_{n+1}\\geq 0$. It is said to satisfy the higher order Tur\\'{a}n inequalities if for $n\\geq 1$, $4(a_{n}^2-a_{n-1}a_{n+1})(a_{n+1}^2-a_{n}a_{n+2})-(a_{n}a_{n+1}-a_{n-1}a_{n+2})^2\\geq 0$. A sequence satisfying the Tur\\'an inequalities is also called log-concave. For the partition function $p(n)$, DeSalvo and Pak showed that for $n>25$, the sequence $\\{ p(n)\\}_{n> 25}$ is log-concave, that is, $p(n)^2-p(n-1)p(n+1)>0$ for $n> 25$. It was conjectured by Chen that $p(n)$ satisfies the higher order Tur\\'{a}n inequalities for $n\\geq 95$. In this paper, we prove this conjecture by using the Hardy-Ramanujan-Rademacher formula to derive an upper bound and a lower bound for $p(n+1)p(n-1)/p(n)^2$. Consequently, for $n\\geq 95$, the Jensen polynomials $g_{3,n-1}(x)=p(n-1)+3p(n)x+3p(n+1)x^2+p(n+2)x^3$ have only real zeros. We conjecture that for any positive integer $m\\geq 4$ there exists an integer $N(m)$ such that for $n\\geq N(m) $, the polynomials $\\sum_{k=0}^m {m\\choose k}p(n+k)x^k$ have only real zeros. This conjecture was independently posed by Ono.

연구 동기 및 목표

• 파artition 함수 $ p(n) $가 $ n \geq 95 $일 때 고차수 투란 부등식을 만족함을 증명하는 것.
• 제닝스 다항식 $ g_{3,n-1}(x) = p(n-1) + 3p(n)x + 3p(n+1)x^2 + p(n+2)x^3 $가 $ n \geq 95 $일 때 모두 실근을 가짐을 입증하는 것.
• 하디-라마누잔-라데이처 수식에서 유도된 점근 전개를 사용하여 비율 $ u_n = p(n+1)p(n-1)/p(n)^2 $에 대한 엄밀한 분석을 제공하는 것.
• 모든 $ m \geq 4 $에 대해, 충분히 큰 $ n $에 대해 다항식 $ \sum_{k=0}^m \binom{m}{k} p(n+k) x^k $가 모두 실근을 가짐을 보이는 더 넓은 추측을 지지하는 것.
• 주요 증명의 기초가 되는 $ H(x) $, $ G(x) $, 및 $ \psi(t) $에 대한 중간 부등식의 타당성을 확인하는 것.

제안 방법

• 파artition 함수의 하디-라마누잔-라데이처 점근 수식을 사용하여 $ p(n+1)p(n-1)/p(n)^2 $에 대한 상한과 하한을 유도한다.
• 파artition 함수 비율의 점근적 행동을 모델링하기 위해 보조 함수 $ G(x) $와 $ H(x) $를 도입하여, 유리 근사에 의한 비교를 가능하게 한다.
• 고차수 투란 부등식의 판별식 조건을 분석하기 위해 함수 $ \psi(t) = \frac{t + \frac{\sqrt{5}+1}{2}}{(\sqrt{1-t}+1)^2(\sqrt{1-t}+t)} $를 활용한다.
• 다항식 지배 논증을 사용하여 $ x \geq 134 $일 때 $ 2H(x) - (\sqrt{5}-1)G(x) > 0 $임을 보이며, 이는 $ \psi(H(x)/G(x)) $에 대한 필수 부등식을 유도한다.
• $ f(n) $, $ g(n) $, 및 $ \mu(n) = n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) $를 포함한 부등식의 사슬을 적용하여 $ u_n $ 및 $ Q(u_n) $를 유계화한다.
• $ n \geq 1207 $일 때 $ u_n < u_{n+1} < Q(u_n) $임을 보여 $ F(u_{n+1}) > 0 $의 핵심 부등식을 검증하며, 기존의 단조성 및 점근적 bounds에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 파artition 함수 $ p(n) $는 모든 $ n \geq 95 $에 대해 고차수 투란 부등식을 만족하는가?
• RQ2 파artition 함수 $ p(n) $와 관련된 제닝스 다항식 $ g_{3,n-1}(x) $는 $ n \geq 95 $일 때 실근을 가진다 할 수 있는가?
• RQ3 비율 $ p(n+1)p(n-1)/p(n)^2 $는 충분히 날카운 bounds를 확보할 수 있는가? 이를 통해 삼차 뉴턴 부등식 조건을 검증할 수 있는가?
• RQ4 파artition 함수 비율에 대한 균일한 bound가 존재하여 삼차형식의 판별식이 음이 아닌 상태를 유지할 수 있는가?
• RQ5 모든 $ m \geq 4 $에 대해, 충분히 큰 $ n $에 대해 다항식 $ \sum_{k=0}^m \binom{m}{k} p(n+k) x^k $가 모두 실근을 가진다는 더 넓은 추측은 타당한가?

주요 결과

• 고차수 투란 부등식은 $ n \geq 95 $일 때 성립하며, $ 4(1 - u_n)(1 - u_{n+1}) - (1 - u_n u_{n+1})^2 > 0 $를 만족한다. 여기서 $ u_n = p(n+1)p(n-1)/p(n)^2 $이다.
• $ n \geq 95 $일 때 제닝스 다항식 $ g_{3,n-1}(x) $는 모두 실근을 가지며, 이는 고차수 투란 부등식의 핵심 결과를 확인한다.
• 증명은 $ n \geq 1207 $일 때 $ u_n < u_{n+1} < Q(u_n) $임을 입증함에 기반한다. 여기서 $ Q(u_n) $는 삼차 판별식 조건에서 유도된다.
• $ x \geq 134 $일 때 $ \psi(H(x)/G(x)) > (1 - H(x)/G(x))^{3/2} $임이 성립하며, 이는 고차수 투란 표현을 유계화하는 데 핵심적이다.
• $ n \geq 35457 $일 때 $ (1 - H(x)/G(x))^{3/2} > 110 / \mu(n-1)^5 $임이 검증되며, 여기서 $ \mu(n) = n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) $이다. 이는 주요 부등식을 지지한다.
• $ x \geq 483 $일 때 최종 부등식 $ x^{10}(G(x) - H(x))^3 - 110^2 G(x)^3 > 0 $이 성립함을 확인하여, 증명에서 사용된 부등식 사슬의 타당성을 확인한다.