[논문 리뷰] Higher power squeezed states, Jacobi matrices, and the Hamburger moment problem

Bengt Nagel|ArXiv.org|1997. 11. 17.

Spectroscopy and Quantum Chemical Studies참고 문헌 3인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 고차원 스que즈 상태를 보골루브로프 변환된 k제곱 파괴 연산자의 고유상태로 정의하며, 이들의 포크 상태 계수에 대한 삼항 재귀관계를 유도한다. k ≥ 3인 경우, 관련 대칭 연산자는 결정되지 않은 하멜버그 모멘트 문제와 연결된 자코비 행렬을 이룬다. 이는 무한히 많은 자기수반 확장이 존재하고 그 스펙트럼이 서로 겹치지 않음을 시사하지만, k=2를 초월한 해가 명시적으로 존재하지 않음에도 불구하고 스케일드 상태는 여전히 잘 정의되어 있음을 의미한다.

ABSTRACT

k:th power (amplitude-)squeezed states are defined as the normalized states giving equality in the Schroedinger-Robertson uncertainty relation for the real and imaginary parts of the k:th power of the one-mode annihilation operator. Equivalently they are the set of normalized eigenstates (for all possible complex eigenvalues) of the Bogolubov transformed "k:th power annihilation operators". Expressed in the number representation the eigenvalue equation leads to a three term recursion relation for the expansion coefficients, which can be explicitly solved in the cases k = 1, 2. The solutions are essentially Hermite and Pollaczek polynomials, respectively. k = 1 gives the ordinary squeezed states, i.e. displaced squeezed vacua. For k equal to or larger than three, where no explicit solution has been found, the recursion relation for the symmetric operator given by the real part of the k:th power of the annihilation operator defines a Jacobi matrix corresponding to a classical Hamburger moment problem, which is undetermined. This implies that the operator has an infinity of self-adjoint extensions, all with disjoint discrete spectra. The corresponding squeezed states are well-defined, however.

연구 동기 및 목표

• 일변도 파괴 연산자의 k제곱의 실수부 및 허수부에 대해 셰르링거-로버팅 불확정성관계의 등호를 만족하는 정규화된 상태로서 k제곱(진폭-)스케일드 상태를 정의하고 특성화하는 것.
• 이 상태들의 고유값 방정식이 포크 기저에서 어떻게 나타나는지 분석하여 전개 계수에 대한 삼항 재귀관계를 이끌어내는 것.
• 해가 명시적으로 존재하지 않는 k ≥ 3의 경우를 분석하고, 얻어진 자코비 행렬이 자기수반 확장 문제에 미치는 영향을 규명하는 것.
• 연산자 구조를 고전적 하멜버그 모멘트 문제와 연결하여, 고차수 k에 대해 그 결정성 여부를 평가하는 것.
• 모멘트 문제가 결정되지 않아도 고차원 스케일드 상태가 물리적으로 잘 정의되어 있음을 입증하는 것.

제안 방법

• 임의의 복소수 고유값에 대해 보골루브로프 변환된 k제곱 파괴 연산자의 정규화된 고유상태로서 k제곱 스케일드 상태를 정의한다.
• 고유값 방정식을 포크 기저에서 표현하여 상태 계수에 대한 삼항 선형 재귀관계를 도출한다.
• k = 1 및 k = 2의 경우 재귀관계를 명시적으로 해석하여 각각 에르미트 다항식과 폴라체크 다항식으로 식별한다.
• k ≥ 3의 경우, k제곱 파괴 연산자의 실수부로 구성된 대칭 연산을 자코비 행렬로 해석한다.
• 하멜버그 모멘트 문제 이론을 적용하여 이 자코비 행렬의 자기수반 확장을 분석하고, 문제의 결정되지 않음을 보여준다.
• 결론적으로, 이 연산자는 서로 겹치지 않는 이산 스펙트럼을 가진 무한히 많은 자기수반 확장을 가짐을 보이며, 이에 대응하는 스케일드 상태는 여전히 잘 정의되어 있음을 밝힌다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 k ≥ 3인 경우 고차원 스케일드 상태의 수학적 구조는 어떻게 되며, k=1 및 k=2의 경우와 어떻게 다를까?
• RQ2 고차원 스케일드 상태의 고유값 방정식은 포크 표현에서 어떤 재귀관계로 변환되는가?
• RQ3 k제곱 파괴 연산자의 실수부로부터 유도된 자코비 행렬과 고전적 하멜버그 모멘트 문제 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 k제곱 스케일드 상태 연산자와 관련된 하멜버그 모멘트 문제가 결정성 또는 결정되지 않음의 조건은 무엇인가?
• RQ5 모멘트 문제가 결정되지 않아도 무한히 많은 자기수반 확장이 존재하는 상황에서 고차원 스케일드 상태는 여전히 물리적으로 잘 정의된 상태로 간주될 수 있는가?

주요 결과

• k=1 및 k=2의 경우, 고차원 스케일드 상태의 포크 공간 계수는 명시적으로 해를 구할 수 있으며, 각각 에르미트 다항식과 폴라체크 다항식에 해당한다.
• k ≥ 3의 경우, 상태 계수에 대한 재귀관계는 k제곱 파괴 연산자의 실수부와 관련된 자코비 행렬을 이룬다.
• 이 자코비 행렬에 대응하는 하멜버그 모멘트 문제는 결정되지 않으며, 이는 연산자의 무한히 많은 자기수반 확장이 존재함을 시사한다.
• 모든 자기수반 확장은 서로 겹치지 않는 이산 스펙트럼을 가지며, 이는 연산자에 대해 풍부하고 유일하지 않은 스펙트럼 구조를 의미한다.
• 유일한 자기수반 확장이 존재하지 않음에도 불구하고 고차원 스케일드 상태는 여전히 잘 정의된 양자 상태로 남아 있다.
• 이 결과는 해가 명시적으로 존재하지 않는 경우에도 고차원 스케일드 상태에 대한 엄밀한 수학적 프레임워크를 구축하며, 양자광학과 고전적 모멘트 문제를 연결한다.