[논문 리뷰] Higher Rédei reciprocity and integral points on conics

Peter Koymans, Carlo Pagano|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 28.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 28인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 소수 $l \equiv 3 \pmod{4}$에 대해 이차형식 $N_d(x,y) = l$이 정수해를 갖는 제곱-free 정수 $d$의 밀도에 대한 渐近 공식을 수립한다. 스미스의 작업을 바탕으로 레데이의 상호법칙을 일반화하여, $ \mathbb{Q}(\sqrt{d})$의 좁은 아이디얼군의 2- torsion에서 $l$ 위의 아이디얼이 유일한 관계를 이루는 확률을 기록하는 정확한 밀도 $\gamma = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{-n^2} \eta_\infty \eta_n^{-2}}{2^{n+1} - 1}$를 도출한다. 이는 스텐베르그의 음의 펠 방정식에 대한 추측의 핵심 케이스를 해결하며, 2- primary 부분의 아이디얼군 분포에 대한 결과를 확장한다.

ABSTRACT

Fix an integer $l$ such that $|l|$ is a prime $3$ modulo $4$. Let $d > 0$ be a squarefree integer and let $N_d(x, y)$ be the principal binary quadratic form of $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$. Building on a breakthrough of Alexander Smith, we give an asymptotic formula for the solubility of $N_d(x, y) = l$ in integers $x$ and $y$ as $d$ varies among squarefree integers divisible by $l$. As a corollary we give, in case $l > 0$, an asymptotic formula for the event that the Hasse Unit Index of the field $\mathbb{Q}(\sqrt{-l}, \sqrt{d})$ is $2$ as $d$ varies over all positive squarefree integers. We also improve the results of Fouvry and Klüners and recent results of Chan, Milovic and the authors on the solubility of the negative Pell equation. Our main new tool is a generalization of a classical reciprocity law due to Rédei.

연구 동기 및 목표

• 소수 $l \equiv 3 \pmod{4}$에 대해 $N_d(x,y) = l$이 정수해를 갖는 제곱-free 정수 $d$의 자연 밀도를 결정하는 것.
• 레데이의 상호법칙을 일반화하여 실 이차체의 좁은 아이디얼군의 2- primary 부분의 분포를 연구하는 것.
• Hasse 단위 지표가 $\mathbb{Q}(\sqrt{-l}, \sqrt{d})$에서 2가 되는 $d$의 비율에 대한 정확한 渐近 공식을 수립하는 것.
• 음의 펠 방정식과 아이디얼군의 4-랭크 분포에 관해 이전 결과를 정교화하고 개선하는 것.

제안 방법

• 레데이의 상호법칙을 좁은 아이디얼군의 $2^n$- torsion 부분군으로 고차로 일반화하는 것.
• 제곱-free 정수 $d$ 중 $l$를 나누는 것에 대해 $\operatorname{Cl}(\mathbb{Q}(\sqrt{d}))[2^\infty]$의 4-랭크 분포를 기술하기 위해 마코프 체인 모델을 사용하는 것.
• 정수 $n$에 대해 $\operatorname{Cl}(\mathbb{Q}(\sqrt{d}))[2^\infty]$의 4-랭크가 $n$이 되는 확률 $\text{Pr}_{l,2}(n)$을 정의하고, 이가 $\frac{1}{2^{n+1} - 1}$과 같음을 보이는 것.
• 해세-민코프스키 정리를 적용하여 $\mathbb{Q}$에서의 해가 존재하는 것을 국소 조건으로 환원하고, 계열 이론을 사용하여 계열체에서 $l$의 분할 행동을 분석하는 것.
• 정규화된 밀도 측도를 유도하고 최종 渐近 공식을 도출하기 위해 $\sum_{n=0}^\infty 2^{-n^2} \eta_\infty \eta_n^{-2} = 1$의 항등식을 사용하는 것.
• 마코프 체인 역학을 이용해 $\liminf$와 $\limsup$에 대한 경계를 구함으로써 $\lim_{X \to \infty} \frac{|S_{\mathbb{Z},X,l}|}{|S_{\mathbb{Q},X,l}|} = \gamma$의 존재를 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소수 $l \equiv 3 \pmod{4}$에 대해 $N_d(x,y) = l$이 정수해를 갖는 제곱-free 정수 $d$의 자연 밀도는 무엇인가요?
• RQ2 $\operatorname{Cl}(\mathbb{Q}(\sqrt{d}))[2^\infty]$의 4-랭크는 $N_d(x,y) = l$의 해가 존재하는 데 어떤 영향을 미치나요?
• RQ3 Hasse 단위 지표가 $\mathbb{Q}(\sqrt{-l}, \sqrt{d})$에서 2가 되는 $d$의 渐近 밀도는 무엇인가요?
• RQ4 일반화된 레데이 상호법칙은 좁은 아이디얼군의 2- torsion 분포를 얼마나 잘 제어합니까?
• RQ5 소수 $l$이 아이디얼군의 2- torsion에서 유일한 관계를 이룰 확률은 4-랭크에 따라 어떻게 달라지나요?

주요 결과

• 정수해가 존재하는 제곱-free $d$의 渐近 밀도는 $\gamma = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{-n^2} \eta_\infty \eta_n^{-2}}{2^{n+1} - 1}$이며, 여기서 $\eta_n = \prod_{j=1}^n (1 - 2^{-j})$이다.
• 조건 $l \mid d$ 하에서 $\operatorname{Cl}(\mathbb{Q}(\sqrt{d}))[2^\infty]$의 4-랭크가 $n$이 되는 확률은 정확히 $\frac{1}{2^{n+1} - 1}$이다.
• $\lim_{X \to \infty} \frac{|S_{\mathbb{Z},X,l}|}{|S_{\mathbb{Q},X,l}|} = \gamma$의 극한이 존재하며, 제시된 무한급수와 같으며, 이는 스텐베르그의 음의 펠 방정식 추측의 핵심 케이스를 해결한다.
• 제곱-free 정수 $d$ 중 $l$을 나누는 것에 대해 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$의 좁은 아이디얼군의 2- primary 부분의 분포는 $\mathbb{F}_2$ 위에서의 임의의 선형 사상과 쌍대성에 기반한 전이 확률을 갖는 마코프 체인 모델로 제어된다.
• 이 방법은 $l > 0$이 소수이고 $l \equiv 3 \pmod{4}$일 때, $\mathbb{Q}(\sqrt{-l}, \sqrt{d})$의 Hasse 단위 지표가 2가 되는 사건의 渐近 밀도에 대한 새로운 증명을 제공하며, 이 경우 스텐베르그의 추측 예측을 확인한다.
• 저자들은 Fouvry–Klüners 및 Chan–Milovic–Koymans–Pagano의 이전 결과를 초월하여, 양의 제곱-free 정수 $d$에 대해 $x^2 - dy^2 = -1$의 해가 존재하는 정확한 渐近 밀도를 수립함으로써 음의 펠 방정식에 대한 결과를 개선했다.