[논문 리뷰] HIGHER TOPOLOGICAL COMPLEXITY AND HOMOTOPY DIMENSION OF CONFIGURATION SPACES ON SPHERES

Ibai Basabe, Yuli B. Rudyak외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 01. 01.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 35인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 2 이상의 n에 대해 Farber의 위상적 복잡도를 고차원 불변량 TCₙ(X)으로 확장하며, Lusternik-Schnirelmann 차수와 대각선의 cup-length과의 연결 고리를 설정한다. 구의 곱, 복소수 및 허수 사영 공간에 대해 TCₙ을 계산하고, 구 위의 구성 공간을 모델링하기 위해 세포 기반의 분할 공간을 도입하여 그 호모토피 차원이 (n−1)(k−1)+1임을 보인다.

ABSTRACT

Yu. Rudyak has recently extended Farber's notion of topological complexity by defining, for n ≥ 2, the n th topolog- ical complexity TCn(X) of a path-connected space X—Farber's original notion is recovered for n = 2. In this paper we develop further the properties of this extended concept, relating it to the Lusternik-Schnirelmann category of cartesian powers of X, as well as to the cup-length of the diagonal embedding X → X n . We com- pute the numerical values of TCn for products of spheres, closed 1-connected symplectic manifolds (e.g. complex projective spaces), and quaternionic projective spaces. We explore the symmetrized version of the concept (TC S (X)) and introduce a new symmetriza- tion (TC �(X)) which is a homotopy invariant of X. We obtain a (conjecturally sharp) upper bound for TC S (X) when X is a sphere. This is attained by introducing and studying the idea of cellular stratified spaces, a new concept that allows us to import techniques from the theory of hyperplane arrangements in order to construct finite CW complexes of the lowest possible dimension modelling, up to equivariant homotopy, configuration spaces of ordered distinct points on spheres—our models are in fact simplicial complexes. In particular, we show that the configuration space of n points (either ordered or unordered) in the k-dimensional sphere has homotopy dimension (n − 1)(k − 1) + 1.

연구 동기 및 목표

• n ≥ 2에 대해 Farber의 위상적 복잡도 개념을 n차 불변량 TCₙ(X)으로 일반화한다.
• TCₙ(X)를 Xⁿ의 Lusternik-Schnirelmann 차수와 대각선 매핑 X → Xⁿ의 cup-length과 연관짓는다.
• 구의 곱, 닫힌 1-연결된 심플렉틱 다양체(예: 복소수 사영 공간), 허수 사영 공간에 대해 TCₙ를 계산한다.
• TCₙ(X)의 대칭화된 형태를 도입하고, 새로운 호모토피 불변량 TC̃(X)을 연구한다.
• 세포 기반의 분할 공간을 사용하여, X가 구일 경우 TC̃(X)에 대해 (추측적으로 최적인) 상한을 확립한다.

제안 방법

• n ≥ 2에 대해 Farber의 원래 TC(X)의 일반화로서 n차 위상적 복잡도 TCₙ(X)를 도입하고 발전시킨다.
• TCₙ(X)를 Xⁿ의 Lusternik-Schnirelmann 차수와 대각선 매핑 X → Xⁿ의 cup-length과 연관짓는다.
• 구 위의 순서된 서로 다른 점들의 구성 공간을 모델링하기 위해, 특히 세포 기반의 분할 공간 개념을 활용한 유한 CW 복합체(특히 단체 복합체)를 구성한다.
• 초평면 배열 이론의 기법을 응용하여 구성 공간의 등변 호모토피에 대해 최소 차원의 모델을 구축한다.
• 세포 기반의 분할 구조를 활용하여 호모토피 차원의 상한을 도출하고 특정 다양체에 대한 TCₙ 값을 계산한다.
• X의 호모토피 불변량이 되는 새로운 대칭화된 형태인 TC̃(X)를 정의하여, 구에 대해 더 날카로운 상한을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 구의 곱, 복소수 사영 공간, 허수 사영 공간에 대해 TCₙ(X)의 값은 무엇인가?
• RQ2 n차 위상적 복잡도 TCₙ(X)는 Xⁿ의 Lusternik-Schnirelmann 차수와 대각선 매핑의 cup-length과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 TCₙ(X)의 대칭화된 형태를 X의 호모토피 불변량이 되도록 정의할 수 있으며, 그 성질은 무엇인가?
• RQ4 k차원 구 위의 n개 순서된 서로 다른 점들의 구성 공간의 호모토피 차원은 무엇인가?
• RQ5 TC̃(Sᵏ)에 대한 상한이 추측적으로 최적인지 여쭙고, 세포 기반의 분할 공간을 통해 이를 달성할 수 있는가?

주요 결과

• k차원 구 위의 n개 순서된 서로 다른 점들의 구성 공간은 호모토피 차원이 (n−1)(k−1)+1이다.
• 구의 곱, 닫힌 1-연결된 심플렉틱 다양체(예: 복소수 사영 공간), 허수 사영 공간에 대해 TCₙ가 명시적으로 계산된다.
• 새로운 대칭화된 형태인 TC̃(X)가 도입되었으며, 이는 X의 호모토피 불변량이 되고, TC̃(Sᵏ)에 대해 (추측적으로 최적인) 상한을 제공한다.
• 최소 차원의 단체 복합체를 사용하여 등변 호모토피에 대해 구성 공간을 모델링하기 위해 세포 기반의 분할 공간 개념이 발전되었다.
• 초평면 배열 이론의 기법이 성공적으로 응용되어, 구 위의 구성 공간에 대한 유한 모델을 구축하였다.
• 논문은 TCₙ(X)와 대각선 매핑 X → Xⁿ의 cup-length 사이의 관계를 확립하여, 고전적 대수적 위상수학 불변량과 연결지었다.