[논문 리뷰] Highly edge-connected regular graphs without large factorizable subgraphs

Davide Mattiolo, Eckhard Steffen|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 20.

Finite Group Theory Research참고 문헌 4인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 r ≥ 4이면 항상 존재하는, r−2개의 쌍으로 disjoint한 완전매칭을 갖지 않는 고도로 간선연결된 r-정규 그래프(r-그래프)를 구성한다. 이는 Thomassen이 제기한 질문에 대한 부정적 해답으로, 짝수 차수를 가진 모든 r-정규 r-간선연결 그래프가 r−2개의 1-팩터와 1개의 2-팩터로 분해된다는 가정에 반박한다. 구성 방법은 페테르센 그래프의 완전매칭과 그래프 확장 기법을 활용하여, r mod 4에 따라 특정 간선연결도 수준을 갖는 무한한 그래프 가족을 도출한다.

ABSTRACT

We construct highly edge-connected $r$-regular graph which do not contain $r-2$ pairwise disjoint perfect matchings. The results partially answer a question stated by Thomassen [Factorizing regular graphs, J. Comb. Theory Ser. B (2019), https://doi.org/10.1016/j.jctb.2019.05.002 (article in press)].

연구 동기 및 목표

• r ≥ 4일 때, r-정규 r-간선연결 그래프가 r−2개의 1-팩터와 1개의 2-팩터로 분해되는지 여부에 대한 Thomassen의 미해결 문제를 다루기.
• r−2개의 쌍으로 disjoint한 완전매칭을 포함하지 않는 무한한 r-그래프 가족을 구성하기.
• r mod 4에 따라 의존하는, 그러한 r-그래프가 존재할 수 있는 최소 간선연결도 t를 결정하기.
• 기존 구성법을 확장하여, 동일한 성질을 갖는 단순 r-그래프(순서 70(r−1))를 생성하기.
• 고도의 간선연결도가 r-그래프에서 많은 수의 disjoint한 완전매칭 존재를 보장하지는 않는다는 것을 보여주기.

제안 방법

• 페테르센 그래프 P의 구조적 성질, 특히 M0에서 M5까지의 다섯 개의 완전매칭과 그들의 교차 행동을 활용한다.
• G′ = G + (N1 + · · · + Nk)라는 그래프 연산을 사용하여, 외부 복제된 완전매칭 Nj를 통해 간선의 다중성을 제어하는 확장된 그래프 Pk를 구성한다.
• Hk의 정점에 메레디스 확장(Meredith extension)을 적용하여 간선연결도와 r−2개의 disjoint한 완전매칭 부재성을 유지하면서 단순 r-그래프를 생성한다.
• 기본 페테르센 그래프에서의 매칭 유형을 나타내는 유형 함수 t(N) = j를 활용하여 확장된 그래프 내 완전매칭에 레이블링 체계를 도입한다.
• E(G) → Zn₂로의 함수 φ를 사용하여 매칭 교차를 추적하고, Lemma 2.5를 적용하여 각 정점 집합 V i_k가 4k−2개의 disjoint한 매칭 가족 중 정확히 2k−1개의 매칭과 교차한다는 것을 보인다.
• Pk의 복제본을 조합하고 정점의 일치 및 간선 추가를 통해 60개의 정점을 가진 4k-간선연결 4k-그래프 Hk를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 r ≥ 4일 때, 짝수 차수를 가진 r-정규 r-간선연결 그래프 중 r−2개의 1-팩터와 1개의 2-팩터로 분해되지 않는 그래프가 존재할 수 있는가?
• RQ2 r−2개의 쌍으로 disjoint한 완전매칭을 갖지 않는 r-그래프가 존재할 수 있는 최소 간선연결도 t는 얼마인가?
• RQ3 이러한 그래프는 단순하고 제어된 순서를 갖도록 구성될 수 있는가?
• RQ4 r-그래프에서 고도의 간선연결도가 많은 수의 disjoint한 완전매칭 존재를 보장하는가?
• RQ5 페테르센 그래프의 완전매칭 성질이 이러한 극단적인 r-그래프의 구성에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 모든 r ≥ 4에 대해, r−2개의 쌍으로 disjoint한 완전매칭을 갖지 않는 t-간선연결 r-그래프의 무한한 가족이 존재한다. 여기서 t = r (r ≡0 mod 4일 때), t = r−1 (r ≡1 mod 2일 때), t = r−2 (r ≡2 mod 4일 때).
• 이 구성법은 순서 60인 t-간선연결 r-그래프를 생성하며, Hk는 각 k ≥1에 대해 60개의 정점을 가진 4k-간선연결 4k-그래프이다.
• 순서 70(r−1)인 단순 r-그래프가 존재하며, 이들은 t-간선연결이고 r−2개의 쌍으로 disjoint한 완전매칭을 포함하지 않는다. 이는 반복적인 메레디스 확장을 통해 구성된다.
• 그래프 Hk는 4k-간선연결이며, 4k−2개의 쌍으로 disjoint한 완전매칭을 포함하지 않는다. 이는 정점 집합 V i_k에서의 매칭 교차 수를 근거로 한 모순에 의해 증명된다.
• Hk+1은 Hk에 네 개의 쌍으로 disjoint한 완전매칭 N0, N1, N2, N3를 추가하여 얻어지며, 이는 재귀적 구성법을 확립한다.
• Hk의 크기 35인 정점 커버에 메레디스 확장을 적용하면, 동일한 비분해성 성질을 유지하면서 순서 70(r−1)인 단순 r-그래프를 생성할 수 있다. 간선연결도와 매칭 제약 조건이 그대로 유지된다.