[논문 리뷰] Highly parallel algorithm for the Ising ground state searching problem

A. Yavorsky, L. A. Markovich외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 11.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 50인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 무작위 초기 상태에서부터 평균장 내림(descent)과 시뮬레이티드 어닐링을 조합하여 이징 모델의 기저 상태를 찾는 데 매우 병렬적인 알고리즘인 MARS를 제안한다. 이 알고리즘은 대규모 이징 시스템과 MAX-CUT 벤치마크에서 기존의 시뮬레이티드 어닐링, NMFA, SimCIM보다 뛰어난 성능을 보이며, 저비용 단일 실행의 막대한 병렬 처리 덕분에 해의 품질과 계산 속도 측면에서 모두 슈퍼리어하다.

ABSTRACT

Finding an energy minimum in the Ising model is an exemplar objective, associated with many combinatorial optimization problems, that is computationally hard in general, but occurs in all areas of modern science. There are several numerical methods, providing solution for the medium size Ising spin systems. However, they are either computationally slow and badly parallelized, or do not give sufficiently good results for the large systems. In this paper, we present a highly parallel algorithm, called Mean-field Annealing from a Random State (MARS), incorporating the best features of the classical simulated annealing (SA) and Mean-Field Annealing (MFA) methods. The algorithm is based on the mean-field descent from a randomly selected configuration and temperature. Since a single run requires little computational effort, the effectiveness can be achieved by massive parallelisation. MARS shows excellent performance both on the large Ising spin systems and on the set of exemplary maximum cut benchmark instances in terms of both solution quality and computational time.

연구 동기 및 목표

• 이징 모델의 기저 상태를 찾는 데 있어 계산의 난이도를 다루기 위해, 물리학, 최적화, 기계학습 등 광범위한 분야에서 응용되는 표준적인 NP-난이도 문제를 해결하고자 한다.
• 특히 대규모 이징 스핀 시스템과 조합 최적화 문제에서의 낮은 병렬성과 느린 수렴 속도 등의 기존 방법의 한계를 극복하고자 한다.
• 낮은 실행당 계산 비용으로도 고성능을 달성할 수 있는 확장 가능한 막대한 병렬 알고리즘을 개발하고자 한다.
• 표준 벤치마크, 특히 G-set의 MAX-CUT 인스턴스와 큰 완전 연결 이징 시스템에서의 성능을 평가하고자 한다.
• 해의 품질, 실행 시간, 성공 확률 측면에서 최신 알고리즘과의 비교 분석을 통해 파라미터 민감도를 분석하고자 한다.

제안 방법

• MARS는 무작위로 선택된 스핀 구성에서 시작하여 고정된 온도에서 평균장 내림을 적용하며, 평균장 근사를 활용해 수렴 속도를 가속화한다.
• 에너지 표면의 효율적 탐색을 위해 고온에서 저온으로의 온도 스케줄을 사용하여 국소 최소값을 피한다.
• 각 실행은 계산적으로 경량이므로 많은 코어나 프로세서에서 막대한 병렬 처리가 가능하며, 결과를 집계하여 해의 품질을 향상시킨다.
• 전통적인 시뮬레이티드 어닐링(SA)과 평균장 어닐링(MFA)의 특징을 통합하여, SA의 확률적 탈출 능력과 MFA의 빠른 평균장 갱신을 결합한다.
• 온도의 하한 $T_{ ext{min}} = 0$ 과 상한 $T_{ ext{max}} = 40$ 을 사용하며, 민감도 분석 결과 성능에 이들 파라미터의 영향이 뚜렷하게 나타난다.
• 알고리즘은 완전 연결 이징 시스템과 G-set의 MAX-CUT 그래프 양쪽 모두에서 테스트되었으며, 문헌에서 표준적으로 사용되는 인스턴스를 활용하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매우 병렬적인 알고리즘이 대규모 시스템에서 기존의 히우리스틱 방법과 최근의 방법들보다 뚜렷이 뛰어난 성능을 보일 수 있는가?
• RQ2 MARS의 성능은 대규모 이징 스핀 시스템에서 SA, NMFA, SimCIM과 비교해 해의 품질과 계산 시간 측면에서 어떻게 나타나는가?
• RQ3 특히 $T_{ ext{min}}$ 와 $T_{ ext{max}}$ 와 같은 파라미터 선택이 해의 품질과 성공 확률에 얼마나 큰 영향을 미치는가?
• RQ4 MARS는 랜덤 그래프와 토로이드 그래프에 대해 표준 MAX-CUT 벤치마크에서 최고의 기록을 달성하거나 이를 약간 초월할 수 있는가?
• RQ5 병렬 시뮬레이션 블록 수가 증가함에 따라 알고리즘은 어떻게 스케일링되며, 성능을 최적화하기 위한 최적의 구성은 무엇인가?

주요 결과

• 100스핀 이징 시스템에서 MARS는 50,000회의 시뮬레이션을 통해 14시간 15분 만에 기저 상태 에너지를 $-33311$ 로 도달했으며, 해의 품질과 속도 측면에서 SA, NMFA, SimCIM을 모두 뛰어넘었다.
• 동일한 시스템에서 성공 확률은 $P = 2 \times 10^{-5}$ 로, 1회의 히트를 기록하여 고성능 해에 일관되게 수렴하는 것으로 나타났다.
• G-set의 MAX-CUT 인스턴스에서 MARS는 가중치 없는 랜덤 그래프와 무작위 간선 가중치가 있는 토로이드 격자에서 최고의 기록과 동일하거나 略적으로 초월하는 성능을 보였다.
• "거의 평면적(Almost planar)" 특성을 가진 그래프 가족에 대해서는 최고의 알고리즘과 유사한 성능를 보였지만, 계산 시간은 크게 감소했다.
• 파라미터 민감도 분석 결과, 최적의 $T_{ ext{min}}$ 와 $T_{ ext{max}}$ 값이 해의 품질과 수용 확률에 강력한 영향을 미친다.
• 낮은 실행 비용의 실행을 효율적으로 병렬 처리함으로써, MARS는 작은 샘플 크기에서도 SA, NMFA, SimCIM을 모두 해의 최적 추정치와 계산 시간 측면에서 뛰어나게 성능을 발휘했다.