[논문 리뷰] Hilbert schemes and W algebras

Wei-Ping Li, Zhenbo Qin외 1명|ArXiv.org|2001. 11. 05.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 사영 표면 $X$ 위의 $n$개 점의 Hilbert 스킴 $X^{[n]}$의 코homology 링의 직합 위에 비가역적으로 작용하는 $χ$ 대수 $χ_X$를 기하학적으로 구성한다. Heisenberg 대수 생성자에 대한 표현으로서 채르니 캐릭터 연산자 $χ_k(\alpha)$의 명시적 공식을 사용하여, 푸리에 성분 간의 교환관계를 계산하고, $χ_X$를 $χ_{1+\infty}$-유형 대수로 식별한다. 이는 기하학적 맥락에서 Heisenberg 및 바이라소라 대수를 일반화한다.

ABSTRACT

We construct geometrically the generating fields of a W algebra which acts irreducibly on the direct sum of the cohomology rings of the Hilbert schemes of n points on a projective surface for all n. We compute explicitly the commutators among a set of linear basis elements of the W algebra, and identify this algebra with a $W_{1+\infty}$-type algebra. A precise formula of certain Chern character operators, which is essential for the construction of the W algebra, is established in terms of the Heisenberg algebra generators. In addition, these Chern character operators are proved to be the zero-modes of vertex operators.

연구 동기 및 목표

• 사영 표면 $X$ 위의 점들의 Hilbert 스킴의 코homology 링의 직합인 $\mathbb{H}_X = \oplus_{n\geq 0} H^*(X^{[n]})$ 위에 비가역적으로 작용하는 $χ$ 대수 $χ_X$를 기하학적으로 구성하는 것.
• 코어널 클래스 $K$와 수직인 $α$에 대해, 코어널 클래스와의 촉진을 통해 작용하는 채르니 캐릭터 연산자 $χ_k(\alpha)$의 명시적 공식을 Heisenberg 대수 생성자에 대해 제공하는 것.
• 생성 장의 푸리에 성분들 간의 교환관계를 계산하고, 그 결과로 얻어진 대수를 $χ_{1+\infty}$-유형 대수로 식별하는 것.
• 연산자 $χ_k(\alpha)$가 정점 연산자의 제로-모드임을 확립하고, Lehn과 Sorger가 제안한 (약간 수정된) 추측에 대해 검증하는 것.

제안 방법

• 이 구성은 이전 연구 [LQW1] 에서 소개된 바 있는, 코homology 클래스 $G_k(\alpha,n) \in H^*(X^{[n]})$ 와의 쿠퍼 곱을 통한 연산자 $χ_k(\alpha) \in \mathrm{End}(\mathbb{H}_X)$ 의 기하학적 연산자에 기반한다.
• Heisenberg 대수 생성자에 대해 $χ_k(\alpha)$ 의 명시적 공식이 $α \perp K$ 인 경우 유도된다.
• Heisenberg 장과 관련된 정점 연산자의 연산자 곱 전개(OPE)를 사용하여 생성 장의 푸리에 성분 $χ_m^p(\alpha)$ 와 $χ_n^q(\beta)$ 의 교환관계를 계산한다.
• OPE 계산은 $p+q > 4$ 와 $p+q \leq 4$ 의 경우로 나누어 수행되며, 로렌츠 급수 전개를 통해 특이항과 극의 구조를 신중히 다룬다.
• 얻어진 교환관계는 $χ_{1+\infty}$-유형 대수의 구조 상수와 일치하며, 계수로는 $pn - qm$, $p+q-1$, $m+n$ 이 포함된다.
• 푸리에 성분들이 리 브라켓에 대해 닫혀 있고, 대수가 Heisenberg 및 바이라소라 부분대수를 포함한다는 것을 검증함으로써, $χ_X$ 가 $χ_{1+\infty}$-유형 대수로 식별된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 사영 표면 위의 점들의 Hilbert 스킴의 코homology 위에 $χ$ 대수의 생성 장을 어떻게 기하학적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 $\mathbb{H}_X$ 위에 작용하는 $χ$ 대수 $χ_X$ 의 정확한 대수적 구조는 무엇이며, $χ_{1+\infty}$ 와의 관계는 어떠한가?
• RQ3 코어널 클래스와 수직인 $α$ 에 대해 채르니 캐릭터 연산자 $χ_k(\alpha)$ 는 Heisenberg 대수 생성자에 대해 명시적으로 표현될 수 있는가?
• RQ4 연산자 $χ_k(\alpha)$ 는 정점 연산자의 제로-모드인가? 이러한 정점 연산자의 대수적 구조에서의 역할은 무엇인가?
• RQ5 푸리에 성분 $χ_m^p(\alpha)$ 와 $χ_n^q(\beta)$ 의 교환관계 $[\mathfrak{J}_m^p(\alpha), \mathfrak{J}_n^q(\beta)]$ 는 Heisenberg 및 $χ$ 대수 생성자에 대해 어떻게 표현되는가?

주요 결과

• 코어널 클래스 $K$ 와 수직인 $α$ 에 대해 채르니 캐릭터 연산자 $χ_k(\alpha)$ 는 Heisenberg 대수 생성자에 대해 명시적으로 표현되며, 수치적으로 자명한 코어널 클래스를 가진 표면의 $X^{[n]}$ 의 코homology 링의 구조를 완전히 기술한다.
• 교환관계 $[\mathfrak{J}_m^p(\alpha), \mathfrak{J}_n^q(\beta)]$ 는 계수 $\frac{pn - qm}{p+q}$ 를 가진 $:a^{p+q}:_{m+n}(\tau_*(\alpha\beta))$ 항을 포함하며, 이는 $χ_{1+\infty}$-유형의 구조에 핵심적이다.
• 교환관계에서 $:(\partial^2 a) a^{p+q-3}:_{m+n}(\tau_*(e\alpha\beta))$ 항의 계수는 $-\frac{(pn - qm)(p+q-1)(p+q-2)}{24}$ 로 주어지며, 이는 고차 스핀 전류의 존재를 확인한다.
• $:a^{p+q-2}:_{m+n}(\tau_*(e\alpha\beta))$ 항의 계수는 $\Theta_{m,n}^{p,q} + \frac{\Omega_{m,n}^{p,q}}{12(p+q-2)}$ 로 주어지며, 여기서 $\Theta_{m,n}^{p,q} = \frac{(pn - qm)(p+q-1)}{24}(2p+2q-2+3m+3n-(m+n)^2)$ 이다.
• $:(\partial^3 a) a^{p+q-3}:_{m+n}(\tau_*(e\alpha\beta))$ 항은 계수가 항상 0이므로 교환관계에 나타나지 않는다.
• $\mathcal{W}_X$ 대수는 푸리에 성분들이 선형 기저를 이루며, Heisenberg 및 바이라소라 부분대수를 포함하는 $χ_{1+\infty}$-유형 대수로 식별된다.