[논문 리뷰] Hilbert space shattering and dynamical freezing in the quantum Ising model

Oliver Hart, Rahul Nandkishore|arXiv (Cornell University)|2022. 03. 11.

Opinion Dynamics and Social Influence인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비점성 장애물이 없는 두 차원 횡방향 자기장 이징 모델이 U(1) 보존 법칙과 Z2 일차형 상수 조건으로 인해 하이젠베르크 공간이 균열되며, 이로 인해 동적으로 분리된 섹터의 지수적 수의 수를 가지며, 약한 균열 영역과 강한 균열 영역 사이에 일阶 전이 유사한 고결 전이가 발생함을 보여준다. 약한 영역에서는 도메인 월의 확산 운동이 발생하고, 강한 영역에서는 특정 부분공간에서 정확한 국소화가 발생한다. 이는 비점성 장애물이 없을 때에도 성립한다.

ABSTRACT

We discuss quantum dynamics in the transverse field Ising model in two spatial dimensions. We show that, up to a prethermal timescale, which we quantify, the Hilbert space 'shatters' into dynamically disconnected subsectors. We identify this shattering as originating from the interplay of a $\mathrm{U}(1)$ conservation law and a one-form $\mathbb{Z}_2$ constraint. We show that the number of dynamically disconnected sectors is exponential in system volume, and includes a subspace exponential in system volume within which the dynamics is exactly localized, even in the absence of quenched disorder. Depending on the emergent sector in which we work, the shattering can be weak (such that typical initial conditions thermalize with respect to their emergent symmetry sector), or strong (such that typical initial conditions exhibit localized dynamics). We present analytical and numerical evidence that a first order-like 'freezing transition' between weak and strong shattering occurs as a function of the symmetry sector, in a non-standard thermodynamic limit. We further numerically show that on the 'weak' (melted) side of the transition domain wall dynamics follows ordinary diffusion.

연구 동기 및 목표

• 비점성 장애물이 없는 두 차원 횡방향 자기장 이징 모델(TFIM)에서 동적 고결과 하이젠베르크 공간의 균열 기원을 이해하는 것.
• 특히 U(1) 보존 법칙과 Z2 일차형 상수 조건이라는 탄생한 대칭이 지수적으로 많은 동적으로 분리된 크리로프 섹터를 생성하는 역할를 규명하는 것.
• 열역학적 한계에서 약한 균열 영역과 강한 균열 영역 사이에 상전이가 존재하는지 확인하고, 그 성격을 규명하는 것.
• 다양한 균열 영역에서 도메인 월의 운반 성질을 연구하는 것, 특히 약한 균열 영역에서의 성질에 중점을 두는 것.

제안 방법

• h/J의 차수 k까지 도메인 월 수를 보존하는 효과적 해밀토니안을 유도하기 위해 슈리페르-울프 변환을 사용하여 이동성의 페르투르베이션 분석을 가능하게 함.
• 해밀토니안의 인접 행렬에 대해 너비 우선 탐색을 이용한 정확한 상태 수를 세어 동적으로 연결된 크리로프 섹터를 분류함.
• Z2 및 U(1) 대칭성에서 기인하는 고전적 운동 제약 조건을 모델링하기 위해 확률적 세포 오토마타 회로를 이용한 동역학 시뮬레이션.
• 고전적 마르코프 과정에서의 기약성 전이를 양자 고결 전이의 대리로 식별함.
• 도메인 월을 생성하거나 소멸하는 연산자 T_n을 구성함. 이때 T_n은 [Q, T_n] = nT_n 및 T_n^† = T_{-n}을 만족하여 체계적 페르투르베이션 이론을 가능하게 함.
• 효과적 해밀토니안 H' = 2JQ - hT_0 + (h^2/4J)[T_2, T_{-2}] + (h^2/8J)[T_4, T_{-4}] + ... 분석을 통해 고립된 도메인 월이 h/J의 두 번째 차수에서 [T_2, T_{-2}] 항에 의해 이동 가능해지며, 이는 약한 영역에서의 확산을 가능하게 함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비점성 장애물이 없는 2D 횡방향 자기장 이징 모델에서 하이젠베르크 공간의 균열 기원은 무엇인가?
• RQ2 U(1) 보존 법칙과 Z2 일차형 상수 조건의 상호작용이 어떻게 지수적으로 많은 동적으로 분리된 섹터를 유도하는가?
• RQ3 열역학적 한계에서 약한 균열 영역과 강한 균열 영역 사이에 일阶 전이 유사한 고결 전이가 발생하는가?
• RQ4 약한 균열 영역에서의 운반 성질은 무엇이며, 강한 균열 영역과 어떻게 다를까?
• RQ5 고결 전이를 기반 고전 마르코프 과정의 기약성 전이로 이해할 수 있는가?

주요 결과

• U(1) 도메인 월 수 보존 법칙과 Z2 일차형 상수 조건의 병합 효과로 인해 2D TFIM의 하이젠베르크 공간이 지수적으로 많은 동적으로 분리된 크리로프 섹터로 균열된다.
• 약한 균열 영역(예: 반만 충전 상태)에서는 도메인 월 운동이 일반적인 확산을 따르며, 이는 해당 영역 내에서 일반적인 열역학적 평형과 일치한다.
• 약한 균열 영역과 강한 균열 영역을 분리하는 일阶 전이 유사 고결 전이가 존재하며, 이 전이는 N_DW ∝ L^2가 되는 비표준 열역학적 한계에서 발생한다.
• 강한 균열 영역에서는 시스템 부피에 대해 지수적으로 증가하는 크기의 부분공간이 존재하며, 이는 비점성 장애물이 없을 때조차도 정확한 국소화를 보인다.
• 이 전이는 도메인 월의 확률적 동역학을 지배하는 고전 마르코프 과정에서의 기약성 전이로 특징지어진다.
• h/J의 두 번째 차수에서 고립된 도메인 월이 효과적 해밀토니안의 [T_2, T_{-2}] 항을 통해 이동 가능해지며, 이는 약한 영역에서의 확산을 가능하게 한다.