[논문 리뷰] History-Deterministic Vector Addition Systems

Sougata Bose, David Purser외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 01. 01.

semigroups and automata theory인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한어 언어에 대해 역사 결정성 있는 벡터 덧셈 시스템(HD-VASS)을 조사하며, 모든 차원에서 비결정성 VASS와 결정성 VASS 사이의 стрict한 중간 클래스를 이룬다는 것을 보여준다. 주요 기여는 2차원 VASS에서 기본적인 결정 문제들—HD성, 언어 포함성, 정규성—이 커버러빌리티 의미론 하에서도 결정 불가능하다는 것을 증명하는 것이다. 이는 HD-VASS가 2카운터 미누스 기계를 시뮬레이션할 수 있기 때문이다.

ABSTRACT

We consider history-determinism, a restricted form of non-determinism, for Vector Addition Systems with States (VASS) when used as acceptors to recognise languages of finite words. History-determinism requires that the non-deterministic choices can be resolved on-the-fly; based on the past and without jeopardising acceptance of any possible continuation of the input word. Our results show that the history-deterministic (HD) VASS sit strictly between deterministic and non-deterministic VASS regardless of the number of counters. We compare the relative expressiveness of HD systems, and closure-properties of the induced language classes, with coverability and reachability semantics, and with and without $\varepsilon$-labelled transitions. Whereas in dimension 1, inclusion and regularity remain decidable, from dimension two onwards, HD-VASS with suitable resolver strategies, are essentially able to simulate 2-counter Minsky machines, leading to several undecidability results: It is undecidable whether a VASS is history-deterministic, or if a language equivalent history-deterministic VASS exists. Checking language inclusion between history-deterministic 2-VASS is also undecidable.

연구 동기 및 목표

• 유한어 언어에 대해 역사 결정성 VASS(HD-VASS)의 표현력과 폐쇄 성질을 조사한다.
• 다양한 차원에서 언어 인식 능력 측면에서 HD-VASS를 결정성 VASS와 비결정성 VASS와 비교한다.
• 커버러빌리티, 도달 가능성 의미론 및 ε-전이 유무에 따라 HD-VASS에서의 핵심 결정 문제들—HD성, 언어 포함성, 정규성—의 결정 가능성을 조사한다.
• HD-VASS가 2카운터 미누스 기계와 같은 강력한 계산 모델을 시뮬레이션할 수 있는지 확인하고, 그로 인해 발생하는 결정 불가능성 결과를 규명한다.
• 이전 연구에서 제기된 1차원 HD-VASS에 관한 열린 질문들—특히 결정화 가능성과 표현력 측면에서—을 해결한다.

제안 방법

• 모든 런이 존재하는 경우에 수용을 보장하기 위해 각 단계에서 언어 최대 전이를 선택하는 해상 전략을 구성한다.
• HD-VASS 내부에서 2카운터 미누스 기계(2CM)를 시뮬레이션하여 결정 불가능성 결과를 도출하며, HD-VASS가 역사에 의존하는 해상 전략을 통해 비결정적 선택을 시뮬레이션할 수 있음을 활용한다.
• 기존의 결정 불가능 문제들—예를 들어 2CM의 전연성 및 유한성 문제—를 HD-VASS의 결정 문제로 환원하여 논리적이고 구조적인 변환을 통해 결정 불가능성을 증명한다.
• 특정 VASS 예시(예: L4 = {a^n b^{≤n} | n ∈ ℕ})를 구성하여, 일부 언어가 1차원에서도 HD-인식 가능하지 않음을 보여준다.
• 파리크 오ート마타와 OCA 이론의 구성 방식을 응용하여 1-HD-VASS를 이중 지수적 팽창을 동반한 결정성 OCA로 변환할 수 있음을 보이며, 이는 1차원에서 정규성의 결정 가능성을 보장한다.
• 좋은-준순서 및 펌핑 추론을 적용하여 2차원에서 결정 불가능성을 증명한다. 이는 무한한 구성이 DFA 사이클 성질을 위반하여 정규 언어가 아니게 함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 차원에서 역사 결정성 VASS가 인식하는 언어의 클래스는 결정성 VASS보다 더 표현력이 강력하지만 비결정성 VASS보다는 약한가?
• RQ2 HD-VASS에서 HD성, 언어 포함성, 정규성 등의 결정 문제는 결정 가능한가? 이는 차원과 의미론(커버러빌리티, 도달 가능성)에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 2차원 HD-VASS는 2카운터 미누스 기계를 시뮬레이션할 수 있는가? 그 결과는 결정 가능성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 주어진 비결정성 VASS가 등가의 역사 결정성 VASS를 가지는지 여부는 결정 가능한가? 특히 2차원에서의 경우에 대해 질문한다.
• RQ5 1차원 HD-VASS는 결정화 가능한가? 이는 정규성 검사의 결정 가능성을 이끌어내는가?

주요 결과

• HD-VASS는 모든 차원, 1차원을 포함하여 결정성 VASS와 비결정성 VASS 사이의 엄격한 중간 클래스를 이룬다.
• 커버러빌리티 의미론과 도달 가능성 의미론 모두에서 2차원 VASS에 대해 주어진 VASS가 역사 결정성인지 여부를 확인하는 것은 결정 불가능하다.
• 커버러빌리티 의미론 하에서도 두 2차원 역사 결정성 VASS 간의 언어 포함성은 결정 불가능하다.
• 2-HD-VASS가 정규 언어를 인식하는지 여부를 확인하는 것은 결정 불가능하다. 이는 2카운터 미누스 기계의 유한성 문제의 결정 불가능성 때문이기 때문이다.
• 2차원에서의 결정 불가능성에도 불구하고, 1차원 HD-VASS에 대해서는 정규성이 결정 가능하며, 복잡도 상계는 EXPSPACE 내에 있다.
• 1-HD-VASS는 이중 지수적 팽창을 동반한 등가의 결정성 OCA로 변환 가능하며, 이는 1차원에서 정규성의 결정 가능성을 보장한다.