[논문 리뷰] History of the formulas and algorithms for pi

Jesús Guillera|ArXiv.org|2008. 07. 05.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 16인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 원주율 π를 계산하기 위한 공식과 알고리즘의 역사를 기하학적 근사에서 시작하여 현대의 초함수 급수와 기호 증명 방법에 이르기까지 다룹니다. 비에트의 무한 중첩 근호, 월리스의 무한 곱, 뉴턴의 이항 급수, 라마누잔 유형의 급수 등 주요 발전을 다루며, 윌프-자일버거(WZ) 방법을 통한 엄밀한 증명과 PSLQ 알고리즘을 통한 수치적 발견을 통해 1/π, 1/π², 1/π³에 대한 새로운 항등식을 도출합니다.

ABSTRACT

Throughout more than two millennia many formulas have been obtained, some of them beautiful, to calculate the number pi. Among them, we can find series, infinite products, expansions as continued fractions and expansions using radicals. Some expressions which are (amazingly) related to pi have been evaluated. In addition, a continual battle has been waged just to break the records computing digits of this number; records have been set using rapidly converging series, ultra fast algorithms and really surprising ones, calculating isolated digits. The development of powerful computers has played a fundamental role in these achievements of calculus.

연구 동기 및 목표

• 2000년 이상에 걸친 π를 계산하기 위한 수학적 공식과 알고리즘의 진화를 기록하기 위해.
• 기하학적 근사에서 분석적 및 초함수 급수로의 전환 과정을 설명하기 위해.
• 윌프-자일버거(WZ) 방법을 사용하여 1/π 및 관련 상수에 대한 무한 급수 항등식을 엄밀하게 증명하는 방법을 보여주기 위해.
• PSLQ 알고리즘이 1/π, 1/π², 1/π³에 대한 새로운 라마누잔 유형의 급수를 발견하는 데 어떻게 기여하는지 설명하기 위해.
• 1/π, 1/π², 1/π³에 대한 새로운 급수 항등식을 제시하고, 고도화된 기호적 및 수치적 기법을 통해 그 타당성을 검증하기 위해.

제안 방법

• 3·2ⁿ 변을 가진 내접 및 외접 다각형을 사용하는 아르키메데스의 반복 알고리즘으로 π의 범위를 구하며, 삼각함수 항등식을 통한 수렴성 증명.
• 단위 지름 원에서 다각형 변 수를 반복적으로 두 배로 늘려 유도된 비에트의 2/π에 대한 무한 중첩 근호 공식.
• 2/π에 대한 월리스의 무한 곱으로, 이후 오슬러의 일반화를 통해 비에트 공식과 통합됨.
• √(x−x²)의 이항 전개를 이용해 π에 대한 급수를 유도하며, 이항정리로 기하적 면적을 통합.
• 1/(1+x²)의 기하급수를 항별 적분하여 유도된 그레고리-라이프니츠 급수로, x=1/√3를 사용한 개선.
• 윌프-자일버거(WZ) 방법을 적용하여 1/π 및 1/π²에 대한 초함수 급수 항등식을 증명함. 이는 F(n+1,k)−F(n,k)=G(n,k+1)−G(n,k)를 만족하는 WZ 쌍 (F,G)를 구성함.
• PSLQ 알고리즘을 사용해 1/π² 및 1/π³에 대한 새로운 추측 급수를 발견함. 특히 계승과 2, 5, 41의 거듭제곱을 포함한 급수.
• 테일러링 합과 극한을 통한 증명으로, limₖ→∞ G(0,k)를 평가하여 ∑G(n,k) = 4/π 및 ∑G(n,k) = 8/π²를 도출함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아르키메데스의 다각형 기반 알고리즘이 기하학적 추론만으로 π의 범위를 어떻게 확보했는가?
• RQ2 비에트의 무한 중첩 근호 공식이 π 계산의 역사적 발전에서 가지는 의미는 무엇인가?
• RQ3 미적분학의 도래가 뉴턴의 급수 및 그레고리-라이프니츠 급수와 같은 새로운 분석적 급수를 어떻게 이끌었는가?
• RQ4 윌프-자일버거(WZ) 방법이 1/π에 대한 초함수 급수 항등식을 엄밀하고 자동으로 증명하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ5 PSLQ 알고리즘이 1/π² 및 1/π³에 대한 새로운 추측 급수를 발견하는 데 어떤 역할을 하는가? 그리고 이러한 급수는 어떻게 검증되는가?

주요 결과

• 아르키메데스의 알고리즘은 96변 다각형을 사용하여 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7의 범위를 도출하였으며, 이는 소수 두 자리까지 정확함.
• 비에트의 무한 중첩 근호 공식은 π에 대해 9자리 정밀도를 달성하여 3.141592653를 산출함.
• 뉴턴의 이항 급수 근사치는 1665년에 π에 대해 15자리 정밀도에 도달함. 이는 이항 전개를 적분하여 유도됨.
• WZ 방법은 ∑ₙ₌₀^∞ (1/2⁸ⁿ) · (2n)!³(2k)!² / (n!⁶(n+k)!²) · (6n+4k+1) = 4/π 라는 항등식을 모든 k에 대해 성립함을 증명함. k=0일 때는 라마누잔의 급수를 유도함.
• PSLQ 알고리즘은 ∑ₙ₌₀^∞ (6n)!(-1)ⁿ / (2880³ⁿ n!⁶) · (5418n²+693n+29) = 128√5/π² 라는 추측 급수를 발견하였으며, 아직 증명되지 않음.
• 우주딘은 이차 변환을 사용하여 wₙ을 포함하는 새로운 항등식을 증명함. 예를 들어, ∑ₙ₌₀^∞ wₙ(4n)!/(n!²(2n)!) · (18n²−10n−3)/(2⁸5²)ⁿ = 10√5/π²로, 이는 조합 계수를 π⁻²과 연결함.