[논문 리뷰] History-state Hamiltonians are critical

Carlos E. González-Guillén, Toby S. Cubitt|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 15.

Political Science Research and Education인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 역사 상태 해밀토니안—양자 계산을 그들 고유 상태에 인코딩하는 데 사용되는 해밀토니안—이 항상 임계적임을 증명한다. 즉, 시스템 크기 $n$ 에 따라 스펙트럴 간격이 최소 $O(1/n)$ 의 속도로 수축한다. 이 결과는 고정된 스펙트럴 간격을 갖는 해밀토니안에 대한 QMA-난이도 또는 애디아바틱 양자 계산에서의 BQP-완전성은 역사 상태 구성 기법을 초월한 기법이 필요할 수 있음을 시사한다. 왜냐하면 이러한 구성 방식은 본질적으로 열역학적 극한에서 간격이 사라지기 때문이다.

ABSTRACT

All Hamiltonian complexity results to date have been proven by constructing a local Hamiltonian whose ground state -- or at least some low-energy state -- is a "computational history state", encoding a quantum computation as a superposition over the history of the computation. We prove that all history-state Hamiltonians must be critical. More precisely, for any circuit-to-Hamiltonian mapping that maps quantum circuits to local Hamiltonians with low-energy history states, there is an increasing sequence of circuits that maps to a growing sequence of Hamiltonians with spectral gap closing at least as fast as O(1/n) with the number of qudits n in the circuit. This result holds for very general notions of history state, and also extends to quasi-local Hamiltonians with exponentially-decaying interactions. This suggests that QMA-hardness for gapped Hamiltonians (and also BQP-completeness of adiabatic quantum computation with constant gap) either require techniques beyond history state constructions. Or gapped Hamiltonians cannot be QMA-hard (respectively, BQP-complete).

연구 동기 및 목표

• 역사 상태 해밀토니안이 열역학적 극한에서 간격이 있는지 여부를 규명하는 것.
• 낮은 에너지의 역사 상태를 갖는 회로-해밀토니안 매핑을 통해 구성된 해밀토니안의 스펙트럴 간격 행동을 분석하는 것.
• 어떤 구체적 형태의 역사 상태나 상호작용 구조가 되든 간에, 이러한 구성 방식은 항상 스펙트럴 간격이 최소 $O(1/n)$ 의 속도로 수축함을 입증하는 것.
• 지수적으로 감쇠하는 상호작용을 갖는 준국소적 해밀토니안으로 결과를 확장하여 임계성 결과의 적용 범위를 넓히는 것.
• 역사 상태 구성 방식이 본질적으로 임계적이라는 점을 고려할 때, 일정한 스펙트럴 간격을 갖는 애디아바틱 양자 계산을 통한 QMA-난이도 또는 BQP-완전성의 실현 가능성에 도전하는 것.

제안 방법

• 역사 상태 해밀토니안의 일반적 클래스를 회로-해밀토니안 매핑을 통해 정의하며, 이때 고유 상태가 시간에 대한 양자 계산의 역사를 중첩 상태로 인코딩한다.
• 각 큐디트당 총 상호작용 강도가 유한하게 유지되도록 보장하는 정규화 조건을 도입하여, 복제나 보조 큐비트 삽입을 통한 임의의 스펙트럴 간격 증폭을 방지한다.
• 유니터리 군 위에서의 측도 집중 기법과 랜덤 양자 회로를 활용하여 국소 연산자의 행렬 원소에서의 큰 이탈 확률을 제한한다.
• 유니터리 $s$-디자인과 하르 측도 집중 결과를 활용하여, 유니터리 군의 집중에서 랜덤 회로의 집중으로 전이한다.
• 국소 해밀토니안 항의 공간에 대한 네트워크를 구성하고, 유니온 바운드를 적용하여 모든 관련 연산자에 걸쳐 최대 이탈을 제어한다.
• 랜덤 회로 모델에서 유도된 집중 한계와 모순이 발생할 수 없음을 보여, 스펙트럴 간격이 최소 $O(1/n)$ 의 속도로 수축해야 한다는 것을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 역사 상태 해밀토니안 구성 방식이라도 열역학적 극한에서 일정한 스펙트럴 간격을 유지할 수 있는가?
• RQ2 역사 상태 해밀토니안의 스펙트럴 간격이 시스템 크기가 증가함에 따라 수축할 수 있는 최소 속도는 무엇인가?
• RQ3 역사 상태 해밀토니안의 임계성은 간격이 있는 해밀토니안에 대한 QMA-난이도의 가능성을 배제하는가?
• RQ4 역사 상태 구성 방식이 본질적으로 임계적이라면, 일정한 스펙트럴 간격을 갖는 애디아바틱 양자 계산이 BQP-완전성을 달성할 수 있는가?
• RQ5 간격이 있고 QMA-난이도를 갖는 해밀토니안을 생성할 수 있는 역사 상태 이외의 대안적 구성 방법은 존재하는가?

주요 결과

• 모든 역사 상태 해밀토니안은 큐디트 수 $n$ 에 따라 최소 $O(1/n)$ 의 속도로 스펙트럴 간격이 수축하며, 이는 특정한 회로-해밀토니안 매핑의 형태에 관계없이 성립한다.
• 이 임계성은 국소적 해밀토니안뿐 아니라, 지수적으로 감쇠하는 상호작용을 갖는 준국소적 해밀토니안에도 적용되며, 큐디트당 상호작용 강도에 대한 최소 정규화 조건이 만족될 경우 성립한다.
• 이 결과는 간격이 있는 해밀토니안에 대한 QMA-난이도를 역사 상태 구성만으로는 달성할 수 없으며, 새로운 기법이 개발되어야 한다는 것을 시사한다.
• 스펙트럴 간격 수축 속도는 역사 상태의 구체적 형태나 상호작용 그래프의 구조와는 독립적이며, 정규화 조건이 만족되면 항상 동일하다.
• 역사 상태 해밀토니안의 임계성은 일정한 간격을 갖는 애디아바틱 양자 계산이 BQP-완전성을 달성할 수 없으며, 보다 다른 고유 상태 인코딩 방식이 필요함을 시사한다.
• 복제나 보조 큐비트 삽입과 같은 임의의 간격 증폭 전략은 분석을 통해 배제되며, 이는 간격을 인위적으로 증가시킬 수 없음을 의미한다.