[논문 리뷰] Hitchin's equations on a nonorientable manifold

Nan-Kuo Ho, Graeme Wilkin외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 05.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 42인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 오리엔터블 이중 덮개를 활용하여 히친의 방정식과 모듈리 공간 이론을 비오리엔터블 다양체로 확장한다. 비오리엔터블 다양체 위의 히친 모듈리 공간과 딜레임 변환에 의해 유도된 호환에 의해 유도된 하이퍼카일러 모듈리 공간의 고정점 집합 사이의 호메오멀피즘을 확립하며, 심플렉틱 기하학 및 하이퍼카일러 기하학과 같은 주요 기하학적 구조를 유지한다.

ABSTRACT

We define Hitchin's moduli space for a principal bundle $P$, whose structure group is a compact semisimple Lie group $K$, over a compact non-orientable Riemannian manifold $M$. We use the Donaldson-Corlette correspondence, which identifies Hitchin's moduli space with the moduli space of flat $K^\mathbb{C}$-connections, which remains valid when M is non-orientable. This enables us to study Hitchin's moduli space both by gauge theoretical methods and algebraically by using representation varieties. If the orientable double cover $ ilde{M}$ of $M$ is a Kähler manifold with odd complex dimension and if the Kähler form is odd under the non-trivial deck transformation on $ ilde{M}$, Hitchin's moduli space of the pull-back bundle $ ilde{P}$ over $ ilde{M}$ has a hyper-Kähler structure and admits an involution induced by the deck transformation. The fixed-point set is symplectic or Lagrangian with respect to various symplectic structures on Hitchin's moduli space over $ ilde{M}$. We show that there is a local diffeomorphism from Hitchin's moduli space over (the nonorientable manifold) $M$ to the fixed point set of the Hitchin's moduli space over (its orientable double cover) $ ilde{M}$. We compare the gauge theoretical constructions with the algebraic approach using representation varieties.

연구 동기 및 목표

• 콤���한 비오리엔터블 리만다이프리안 다양체 위의 주기저 복합체에 대해 히친의 모듈리 공간을 정의하고 연구하기.
• 도널드슨-코렐레티 상응관계를 비오리엔터블 환경으로 확장하여, 히친의 모듈리 공간이 평탄한 복소 접속의 드 라무 모듈리 공간과 호메오멀피즘임을 보여주기.
• 오리엔터블 이중 덮개 위의 모듈리 공간의 하이퍼카일러 기하학과 그 덮개 변환에 대한 고정점 집합을 분석하기.
• 게이지 이론적 구성과 표현 다양체를 이용한 대수적 접근 방식을 비교하기.
• 비오리엔터블 다양체 위에서 $ PG $-_bundle를 $ G $-bundle으로 끌어올리는 데 발생하는 위상적 장애물($ Z(G)/2Z(G) $의 원소를 통해)를 규명하기.

제안 방법

• 콤팩트한 비오리엔터블 다양체 $ M $ 위의 주기저 복합체 $ P \to M $ 에 대해, 게이지 변환에 대한 히친 방정식의 해를 이용하여 히친 모듈리 공간 $ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(P) $ 를 정의한다.
• 도널드슨-코렐레티 상응관계를 사용하여, $ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(P) $ 와 드 라무 모듈리 공간 $ \mathcal{M}^{\mathrm{dR}}(P^{\mathbb{C}}) $ 사이의 호메오멀피즘을 확립한다. 이는 $ M $ 이 비오리엔터블일 경우에도 성립한다.
• _bundle $ P \to M $ 을 그 오리엔터블 이중 덮개 $ \tilde{M} $ 로 끌어올려 $ \tilde{P} \to \tilde{M} $ 를 얻고, $ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(\tilde{P}) $ 를 연구한다. $ \tilde{M} $ 이 홀수 복소 차원의 켈러 다양체일 경우 이 모듈리 공간은 하이퍼카일러 구조를 갖는다.
• 덮개 변환에 의해 유도된 $ \tilde{M} $ 위의 호환 $ \tau $ 를 도입하고, $ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(\tilde{P}) $ 위에 작용하는 행동을 분석하며, 고정점 집합 $ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(\tilde{P})^{\tau} $ 를 연구한다. 이 집합은 하이퍼카일러 켈러 형식에 대해 심플렉틱 또는 라그랑주일 수 있다.
• $ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(P) $ 에서 $ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(\tilde{P})^{\tau} $ 로의 국소 미분형사상을 구성하여, 비오리엔터블 다양체와 이중 덮개 모듈리 공간 간의 직접적인 기하학적 연결을 확립한다.
• 표현 다양체와 단일 연속성 표현을 사용하여 평탄한 접속을 특성화하고, $ M $ 에서 $ PG $-bundle 를 $ G $-bundle 으로 끌어올리는 데 발생하는 장애물이 $ Z(G)/2Z(G) $ 의 원소로 나타남을 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 히친의 방정식과 그 모듈리 공간은 비오리엔터블 다양체 위에서 의미 있게 정의될 수 있는가?
• RQ2 기저 다양체가 비오리엔터블일 경우에도 히친 모듈리 공간과 평탄한 접속의 드 라무 모듈리 공간 사이의 도널드슨-코렐레티 상응관계는 여전히 성립하는가?
• RQ3 오리엔터블 이중 덮개 위의 모듈리 공간은 어떤 기하학적 구조(예: 하이퍼카일러, 심플렉틱)를 상속받는가? 그리고 덮개 변환 하에서 이 구조들은 어떻게 행동하는가?
• RQ4 비오리엔터블 다양체 위의 모듈리 공간은 그 이중 덮개 위의 모듈리 공간의 고정점 집합과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 비오리엔터블 다양체 위의 $ PG $-bundle 을 $ G $-bundle 으로 끌어올리는 데 발생하는 위상적 장애물은 무엇인가?

주요 결과

• 콤팩트한 비오리엔터블 리만다이프리안 다양체 위의 주기저 복합체에 대해 히친 모듈리 공간 $ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(P) $ 는 게이지 변환에 대한 히친 방정식의 해로 잘 정의되어 있다.
• 비오리엔터블 다양체에 대해서도 도널드슨-코렐레티 상응관계가 성립하여, $ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(P) $ 와 드 라무 모듈리 공간 $ \mathcal{M}^{\mathrm{dR}}(P^{\mathbb{C}}) $ 사이의 호메오멀피즘이 성립한다.
• 오리엔터블 이중 덮개 $ \tilde{M} $ 가 홀수 복소 차원의 켈러 다양체이고, 켈러 형식이 덮개 변환 $ \tau $ 에 대해 홀수일 경우, 모듈리 공간 $ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(\tilde{P}) $ 는 하이퍼카일러 구조를 갖는다.
• 덮개 변환 $ \tau $ 는 $ \tilde{M} $ 에서 $ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(\tilde{P}) $ 위로 올라가며, 고정점 집합 $ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(\tilde{P})^{\tau} $ 는 하이퍼카일러 켈러 형식에 대해 심플렉틱 또는 라그랑주일 수 있다.
• $ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(P) $ 에서 $ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(\tilde{P})^{\tau} $ 로의 국소 미분형사상이 존재하여, 비오리엔터블 다양체와 이중 덮개 모듈리 공간 간의 직접적인 기하학적 연결을 확립한다.
• 비오리엔터블 곡면 $ M = \varSigma $ 에 대해, $ PG $-bundle 을 $ G $-bundle 으로 끌어올리는 데의 장애물은 $ Z(G)/2Z(G) $ 의 원소로 분류되며, 이는 이중 덮개 위의 $ G $-bundle 의 단일 연속성에서 기인한다.