[논문 리뷰] Hitting properties and non-uniqueness for SDE driven by stable processes

Julien Berestycki, Leif Doering외 2명|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 18.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 헬더 연속성 조건을 만족하는 드리프트 및 노이즈 계수를 가진 스펙트르 알파-스테이블 레비 과정에 의해 구동되는 자기유사성 SDE의 경로 유일성과 충격 성질을 조사한다. 라멘티의 변환과 거듭제곱 변환을 사용하여 거의 확실한 유한 시간 내 퇴화 조건을 필요충분조건으로 확립하고, 해가 영에 도달할 경우 경로 유일성이 성립하지 않음을 보이며, 이는 영에 머무르는 시간이 레베그 측도에서 무시할 수 있는 해의 제한된 클래스를 제외하고는 그렇다.

ABSTRACT

We study a class of self-similar jump type SDEs driven by Hölder-continuous drift and noise coefficients. Using the Lamperti transformation for positive self-similar Markov processes we obtain a necessary and sufficient condition for almost sure extinction in finite time. We then show that for certain parameters pathwise uniqueness holds in a restricted sense, namely among solutions spending a Lebesgue-negligible amount of time at 0. A direct power transformation plays a key role.

연구 동기 및 목표

• 스펙트르 양성 α-스테이블 레비 과정에 의해 구동되는 점프 유형 SDE의 충격 성질과 해의 비유일성 분석.
• 해가 거의 확실하게 유한 시간 내에 영에 도달하는 조건을 특정하며, 특히 자기유사성 역학을 중심으로 분석.
• 소음 계수가 사라지고 드리프트가 리프시츠 조건을 만족하지 못하는 영에서의 비특이성 존재 조건에서 경로 유일성 조사.
• 영에 도달한 후 서로 다른 해를 구성하여 고전적 경로 유일성의 실패를 보여주는 명시적 해 구축.
• 매개수에 대한 크라머 유형 조건을 만족할 경우 영에서 유일한 자기유사 마코프 확장이 존재함을 확립.

제안 방법

• SDE를 양의 자기유사 마코프 과정(pssMp)으로 변환하기 위해 라멘티의 변환을 적용하여 충격 시간과 자기유사성 분석 가능하게 한다.
• 원래 SDE를 특정 라플라스 지수를 갖는 레비 과정에 의해 구동되는 새로운 SDE와 연결하기 위해 거듭제곱 변환을 사용한다. 이 지수는 Γ-함수를 포함한다.
• 라멘티 변환을 활용하여 매개수 θ와 Γ-함수로 표현된 거의 확실한 영에서의 퇴화 조건을 필요충분조건으로 유도한다.
• SDE의 구조와 자기유사성의 성질을 이용하여 영에서 르베그 측도에서 무시할 수 있는 시간을 보낸 해들 사이의 경로 유일성을 확립한다.
• Rivero와 Fitzsimmons의 pssMp 확장 결과를 활용하여 비자명한 해의 존재와 레비 과정에 대한 크라머 유형 조건 간의 연결을 수립한다.
• 약한 수렴과 페러러 연속성을 이용하여 크라머 조건이 성립할 경우 마코프 가족이 영으로 연속적으로 연장됨을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SDE (1.1)의 해가 거의 확실하게 유한 시간 내에 영에 도달하는 조건은 매개수 θ, α, β, η에 대해 어떤가?
• RQ2 SDE (1.1)에서 경로 유일성이 실패하는 조건은 언제이며, 다수의 서로 다른 강한 해가 존재할 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ3 영에서 비자명한 자기유사 확장이 존재하는 정확한 조건은 무엇인가?
• RQ4 크라머 유형 조건 θ > Γ(αβ)/Γ(η)는 영에 도달한 후 비자명한 해의 존재와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 해가 영에 도달할 경우, 마코프 가족 (ℙ^x)_{x>0}은 x=0으로 연속적으로 연장될 수 있는가?

주요 결과

• 거의 확실한 퇴화가 발생하는 것은 0 ≤ θ < Γ(α)일 때이고, θ ≥ Γ(α)이면 T_0 = ∞ 거의 확실하게 성립한다.
• β > 1 - 1/α일 경우 경로 유일성이 고전적 의미에서 실패하며, 영에 도달한 후 서로 다른 강한 해를 구성할 수 있다.
• 비자명한 영에서의 자기유사 확장이 존재하는 것은 θ > Γ(αβ)/Γ(η)일 때에만 성립하며, 이는 pssMp 확장에 대한 크라머 유형 조건과 일치한다.
• θ > Γ(αβ)/Γ(η)일 경우, x ≥ 0에 대해 유일한 자기유사 확장 ̄ℙ^x는 초기 조건에 대해 약한 연속성을 가진다.
• SDE (1.1)의 해는 매개수 조건 η = 1 - α(1 - β)를 만족할 때 자기유사성을 띤다. 이 조건을 통해 라멘티의 변환을 적용할 수 있다.
• 거듭제곱 변환과 SDE의 구조를 이용하여 영에서의 확장을 명시적으로 구성함으로써, 약한 수렴에만 의존하지 않는 방법을 제공한다.