[논문 리뷰] Hochschild Cohomology of Algebras in Monoidal Categories and Splitting Morphisms of Bialgebras

Alessandro Ardizzoni, Claudia Menini외 1명|arXiv (Cornell University)|2002. 12. 23.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 아벨 모나이드 카테고리 내의 대수에 대한 호크시ลด 코homology를 개발하고, 병가환대수 및 호프대수에 적용한다. 만약 호프대수 $ A $가 극소수적 몫 $ H $를 갖는 담비적 호프 아이디얼을 통해 분해될 수 있다면, 자연스러운 사영 $ A \to H $는 $ H $-코라인어르 알지브라 섹션을 가지며, 이에 따라 $ A $는 $ H $ 위의 예터–드린펠트 대수의 일반화된 보존화로 표현될 수 있다. 이는 라드포드 정리의 카테고리적 일반화이다.

ABSTRACT

The main goal of this paper is to investigate the structure of Hopf algebras with the property that either its Jacobson radical is a Hopf ideal or its coradical is a subalgebra. In order to do that we define the Hochschild cohomology of an algebra in an abelian monoidal category. Then we characterize those algebras which have dimension less than or equal to 1 with respect to Hochschild cohomology. Now let us consider a Hopf algebra A such that its Jacobson radical J is a nilpotent Hopf ideal and H:=A/J is a semisimple algebra. By using our homological results, we prove that the canonical projection of A on H has a section which is an H-colinear algebra map. Furthermore, if H is cosemisimple too, then we can choose this section to be an (H,H)-bicolinear algebra morphism. This fact allows us to describe A as a `generalized bosonization' of a certain algebra R in the category of Yetter-Drinfeld modules over H. As an application we give a categorical proof of Radford's result about Hopf algebras with projections. We also consider the dual situation. In this case, many results that we obtain hold true for a large enough class of H-module coalgebras, where H is a cosemisimple Hopf algebra.

연구 동기 및 목표

• 아벨 모나이드 카테고리 내의 대수에 대한 호크시ลด 코homology를 개발하여, 고전적 호몰로지 도구를 카테고리적 프레임워크로 확장한다.
• 호크시ลด 코homological 차원 ≤1인 대수를 특성화하며, 특히 분리 가능하고 형식적으로 매끄러운 대수에 초점을 맞춘다.
• 호프대수 $ A $에서 그 반순수 몫 $ H $로 가는 자연스러운 사영이 $ H $-코모듈의 카테고리 내에서 알지브라 섹션을 가지는 조건을 확립한다.
• 보존화를 이용한 업그레이드 방법과 카테고리적 도구를 통해 라드포드 정리의 카테고리적 일반화를 제공한다.
• 코라디컬 필터링의 경우로 결과를 쌍대화하여, 코라디컬이 반순수인 호프대수는 예터–드린펠트 대수의 보존화와 동형임을 보인다.

제안 방법

• 아벨 모나이드 카테고리 $ \text{Mod} $ 내에서 대수 $ A $와 $ (A,A) $-쌍모듈 $ M $에 대해 호크시ลด 코homology $ \textbf{H}^\bullet(A, M) $를 정의하여 고전적 호크시ลด 코homology를 일반화한다.
• 분리 가능 대수를 $ \text{Ext} $-프로젝티브 쌍모듈로 정의하고, 호크시ลด 코homology가 차수 ≥1에서 자명한 대수를 형식적으로 매끄럽다고 정의한다.
• $ \textbf{H}^2(A,M) $와 호크시ลด 확장의 동치류 사이의 대응을 이용하여 코homology의 소멸 조건을 통해 알지브라 섹션을 구성한다.
• 반순수 호프대수 $ H $에 대해 $ \text{Mod}^H $의 오른쪽 $ H $-코모듈 카테고리와 $ {}^H\text{Mod}^H $의 $ (H,H) $-쌍코모듈 카테고리에 이 형식을 적용한다.
• 예터–드린펠트 모듈과 호프 이중모듈 간의 동치를 활용하여 대수 $ R = A^{\text{co}H} $를 $ {}^H\text{Mod}^H $ 내의 대상으로 표현하고, 쌍대 예터–드린펠트 사각형을 구성한다.
• 타케우치의 동형 정리에 기반하여 $ A $가 $ R \\/#^b H $의 보존화로서 이중대수(및 호프대수)로서 동형임을 보인다. $ \theta \neq 0 $일 경우 비자명한 구조 사상이 존재한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 호프대수 $ A $에서 그 반순수 몫 $ H $로 가는 자연스러운 사영 $ A \to H $가 $ H $-코라인어르 알지브라 섹션을 가지는 카테고리적 조건은 무엇인가?
• RQ2 모나이드 카테고리 내의 호크시ลด 코homology는 웨더번–말체브 정리의 일반화와 형식적으로 매끄러운 대수의 특성화에 어떻게 기여하는가?
• RQ3 브레이드된 카테고리 내에서 호몰로지 도구와 보존화를 이용해, 투영을 갖는 호프대수에 대한 라드포드 정리를 재구성할 수 있는가?
• RQ4 호프대수 $ A $의 코라디컬 $ H $가 반순수인 부분호프대수일 경우의 구조는 어떻게 되며, $ A $는 $ H $ 위의 예터–드린펠트 대수로부터 어떻게 재구성할 수 있는가?
• RQ5 호프대수 $ A $와 $ A^* $ 사이의 쌍대성은 관련된 예터–드린펠트 사각형과 그 보존화의 구조에 어떻게 반영되는가?

주요 결과

• 만약 호프대수 $ A $의 재결합 근 $ J $가 담비적 호프 아이디얼이고 $ H = A/J $가 반순수이면, 자연스러운 사영 $ \tau: A \to H $는 $ H $-코라인어르 알지브라 섹션 $ \rho: H \to A $를 가지며, 이에 따라 $ A $는 $ R = A^{\text{co}H} $에 대한 일반화된 보존화로 표현된다.
• 만약 $ H $도 코반순수이면, 섹션 $ \rho $는 $ (H,H) $-쌍코라인어르로 선택할 수 있어 이중대수 구조와의 호환성을 보장한다.
• 호프대수 $ A $는 이중대수(및 호프대수)로서 보존화 $ R \\/#^b H $와 동형이며, 여기서 $ R = A^{\text{co}H} $이며, $ \theta: R \to H \to R \to H $의 구조 사상은 $ \theta \neq 0 $일 경우 비자명하다. 예를 들어 $ \theta(x_2 \times x_1) = a(c^2 - 1) $의 경우와 같다.
• 쌍대호프대수 $ A^* $는 쌍대 정리의 조건을 만족하며, $ (A^*)^{\text{co}H^*} $는 $ R^* $와 동형이며, 원래의 $ \theta $에 대응하는 쌍대 구조 사상 $ \theta^* $가 존재한다.
• 등장사상 $ \theta^* $는 $ \text{Hom}(R \times R, K) \to (R \times R)^* $의 합성으로 실현되며, 그 다이어그램은 가환성을 보여, $ \theta \neq 0 $일 경우 $ A $는 비자명한 보존화임을 보인다.
• 결과는 카테고리적으로 라드포드 정리를 일반화한다: 반순수 몫 $ H $를 가지며 근 $ J $가 담비적인 호프대수는 $ H $ 위의 예터–드린펠트 대수의 보존화로 분해될 수 있다.