[논문 리뷰] Hochschild cohomology of smash products and rank one Hopf algebras

Sebastian Burciu, Sarah Witherspoon|ArXiv.org|2006. 08. 30.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 14인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $A\#H$의 호크실드 코homology를 계산하기 위한 새로운 프레임워크를 수립한다. 부분대수 $\mathcal{D}$를 $(A\#H)^{\otimes 2}$에 도입하여, 임의의 $B$-양측 $M$에 대해 $\mathrm{HH}^*(A\#H, M) \cong \mathrm{Ext}^*_{\mathcal{D}}(A, M)$임을 보이고, 코homology 링이 $\mathrm{HH}^*(A)$의 $H$-불변 부분과 중심 $Z(A\#H)$에 의해 생성됨을 증명한다. 또한 $H$가 반단순일 경우 케이건의 호프-호크실드 코homology가 호프-호크실드 코homology와 동형임을 보인다.

ABSTRACT

We give some general results on the ring structure of Hochschild cohomology of smash products of algebras with Hopf algebras. We compute this ring structure explicitly for a large class of finite dimensional Hopf algebras of rank one.

연구 동기 및 목표

• 스매시 곱 $A\#H$의 호크실드 코homology의 벡터 공간 분해를 $A = k$ 및 $H = kG$의 경우를 초월하여 일반화하기 위해.
• 부분대수 $\mathcal{D} \subset (A\#H)^e$를 통해 $\mathrm{HH}^*(A\#H)$의 컵 곱의 코チェ인 수준 기술을 제공하기 위해.
• $H$가 반단순일 경우 호프-호크실드 코homology와 호크실드 코homology 사이의 링 동형을 수립하기 위해.
• 랭크 1 호프 대수 $B = A\#kG$에 대해 $\mathrm{HH}^*(B)$의 전체 순차 링 구조를 계산하기 위해.
• 스매시 곱의 호크실드 코homology에서 컵 곱을 $\mathcal{D}$-해상에서 명시적으로 기술하기 위해.

제안 방법

• 부분대수 $\mathcal{D} \subset (A\#H)^e$를 $\mathcal{D} = \{ a h_1 \otimes S(h_2) b \mid a,b \in A, h \in H \}$로 정의하여 $A\#H$의 코homology를 제어한다.
• 임의의 $A\#H$-양측 $M$에 대해 $\mathrm{HH}^*(A\#H, M) \cong \mathrm{Ext}^*_{\mathcal{D}}(A, M)$임을 증명하여 기존 분해를 일반화한다.
• 부에노스 아이레스 순환코호몰로지 그룹의 명시적 체인 사상들을 사용하여 랭크 1 호프 대수에서 $\mathrm{HH}^*(B)$의 컵 곱 구조를 계산한다.
• Kaygun의 교차곱 대수 $\Gamma = A^e \rtimes H$와 $\mathcal{D}$ 사이의 동형 $\Gamma \cong \mathcal{D}$를 사상 $ah_1 \otimes S(h_2)b \mapsto a \otimes b \otimes h$를 통해 수립한다.
• $H$가 반단순일 경우 $\mathcal{D}$-해상과 프로젝티브성에 기반하여 $\mathrm{HH}^*_{\text{Hopf}}(A,M) \cong \mathrm{HH}^*(A\#H,M)$임을 적용한다.
• $B = A\#kG$에 대해 $\mathrm{HH}^*(B)$의 링 구조를 $\mathrm{HH}^*(A)^G$와 $Z(B)$에 의해 생성됨을 보여, 링의 구조를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 H가 이중적 항등원을 가질 경우, $H$-불변 부분공간에 대한 $\mathcal{D}$-모듈의 관계로 스매시 곱 $A\#H$의 호크실드 코homology를 어떻게 분해할 수 있는가?
• RQ2 $\mathcal{D}$-코체인의 관점에서 $\mathrm{HH}^*(A\#H)$의 명시적 링 구조, 특히 컵 곱은 무엇인가?
• RQ3 H가 반단순일 경우, H-모듈 대수 A에 대한 케이건의 호프-호크실드 코homology는 $A\#H$의 호크실드 코homology와 일치하는가?
• RQ4 랭크 1 호프 대수 $B = A\#kG$에 대해 $\mathrm{HH}^*(B)$의 전체 순차 링 구조는 무엇이며, 어떻게 생성되는가?
• RQ5 $\mathcal{D}$-해상에서 컵 곱을 명시적으로 코체인 수준에서 기술할 수 있는가?

주요 결과

• 임의의 $A\#H$-양측 $M$에 대해 $\mathrm{HH}^*(A\#H, M)$은 $\mathrm{Ext}^*_{\mathcal{D}}(A, M)$과 동형이며, 스매시 곱에 대한 새로운 코homological 프레임워크를 제공한다.
• 랭크 1 호프 대수 $B = A\#kG$에 대해 링 $\mathrm{HH}^*(B)$는 $G$-불변 부분환 $\mathrm{HH}^*(A)^G$와 중심 $Z(B) \cong \mathrm{HH}^0(B)$에 의해 생성된다.
• 커스프 곱 $\mathrm{HH}^*(B)$는 공식 $(f \smile f')(a_0 \otimes \cdots \otimes a_{l+m+1}) = f(a_0 \otimes \cdots \otimes a_l \otimes 1) f'(1 \otimes a_{l+1} \otimes \cdots \otimes a_{l+m+1})$을 통해 코체인 수준에서 명시적으로 기술된다.
• $H$가 반단순일 경우 $\mathrm{HH}^*(A\#H) \cong \mathrm{HH}^*(A, A\#H)^H$임을 보여, 코homology가 $\mathrm{HH}^*(A, A\#H)$의 $H$-불변 부분과 동형임을 밝힌다.
• Kaygun이 도입한 대수 $\Gamma = A^e \rtimes H$는 $\mathcal{D} \subset (A\#H)^e$와 동형이며, 이에 따라 반단순 $H$에 대해 $\mathrm{HH}^*_{\text{Hopf}}(A,M) \cong \mathrm{HH}^*(A\#H,M)$임을 유도한다.
• $\Gamma \cong \mathcal{D}$의 동형은 사상 $ah_1 \otimes S(h_2)b \mapsto a \otimes b \otimes h$로 주어지며, 이는 코homological 구조를 유지하는 대수 동형이다.