[논문 리뷰] Hochschild cohomology of triangular matrix algebras

Jorge A. Guccione, Juan J. Guccione|ArXiv.org|2001. 04. 05.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 1인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 삼각행렬 대수 $E = \begin{smallmatrix} A & M \\ 0 & B \end{smallmatrix}$의 호크시ลด 호모로지가 그 성분인 $A$, $B$, 그리고 이중모듈러 $M$의 호크시ลด 호모로지와 어떻게 연결되는지 두 개의 장점 정렬 시퀀스를 수립한다. 상대적 프로젝티브 분해를 통해 $E$의 호모로지가 $A \otimes B^{\text{op}}$ 및 $E \otimes B^{\text{op}}$ 위에서의 엑스트 군을 포함하는 정렬 시퀀스에 맞춰진다는 것을 증명하며, 이는 이전 결과를 임의의 가환 기저환으로 일반화하고 삼각 대수의 호크시ลด 호모로지 계산을 위한 기초 도구를 제공한다.

ABSTRACT

We prove the existence of two long exact sequences relating the Hochschild cohomology of a triangular matrix algebra with the Hochschild homology of its component subalgebras. We also study the structure of the maps of the first sequence.

연구 동기 및 목표

• 삼각행렬 대수 $E = \begin{smallmatrix} A & M \\ 0 & B \end{smallmatrix}$의 호크시ลด 호모로지가 $A$, $B$, 그리고 이중모듈러 $M$의 호모로지와 연결되는 장점 정렬 시퀀스를 수립하는 것.
• 기존의 삼각 대수의 호크시ลด 호모로지 결과를 일반화하기 위해 기저환 $k$에 대한 제약 조건을 제거하고, 단지 $k$가 단위원을 가진 가환환임을 가정하는 것.
• 고도의 호모로지 기법을 피하고 간단한 상대적 프로젝티브 분해를 사용하여 원시적인 증명을 제공하는 것.
• 호모로지 설정으로의 확장을 토르 군을 통해 수행하여 호모로지에 대해 유사한 정렬 시퀀스를 도출하는 것.
• 정렬 시퀀스의 사상들과 호환되는 $\operatorname{H}^*(E,E)$, $\operatorname{H}^*(A,A)$, $\operatorname{H}^*(B,B)$의 컵 곱 구조를 보여주며, 그로 인해 그룹 대수의 구조를 유지하는 것.

제안 방법

• 저자들은 $E$를 $E$-이중모듈러로 보는 상대적 프로젝티브 분해를 구성하여, 표준 복합체를 통해 호크시ลด 호모로지를 계산한다.
• 호크시ลด 복합체와 $A$ 및 $B$의 텐서곱 복합체 사이의 연결을 가능하게 하는 사슬 사상 $\gamma_n$을 정의함으로써 정렬 시퀀스의 구성이 가능해진다.
• 첫 번째 장점 정렬 시퀀스는 $A \otimes B^{\text{op}}, k$-분해의 에피모르피즘에 대해 상대적인 엑스트 군 $\operatorname{Ext}^*_{A \otimes B^{\text{op}}, k}(M, X_{AB})$를 사용하여 구성된다.
• 두 번째 정렬 시퀀스는 $E \otimes B^{\text{op}}, k$-분해의 에피모르피즘에 대해 상대적인 엑스트 군 $\operatorname{Ext}^*_{E \otimes B^{\text{op}}, k}(B_E, X1_B)$를 포함하며, 여기서 $B_E$는 몫사상 $\pi: E \to B$를 통해 $E$-이중모듈러로 본 $B$이다.
• $\operatorname{H}^*(E,E)$, $\operatorname{H}^*(A,A)$, $\operatorname{H}^*(B,B)$의 컵 곱 구조가 정렬 시퀀스의 사상과 호환되며, 이로 인해 사상들이 대수 준동형사상임을 보장한다.
• 호모로지의 유사한 결과(정리 1' 및 2')는 $k$-분해의 에피모르피즘에 대해 상대적인 토르 군을 사용하여 유도되며, 이는 호모로지의 경우와 유사하게 구성된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 삼각행렬 대수 $E = \begin{smallmatrix} A & M \\ 0 & B \end{smallmatrix}$의 호크시ลด 호모로지는 그 성분인 $A$, $B$, 그리고 이중모듈러 $M$의 호모로지와 어떻게 연결될 수 있는가?
• RQ2 정렬 시퀀스를 통해 $\operatorname{H}^*(E,X)$를 $\operatorname{H}^*(A,X_{AA})$, $\operatorname{H}^*(B,X_{BB})$, 그리고 $\operatorname{Ext}^*_{A \otimes B^{\text{op}}, k}(M,X_{AB})$와 연결할 수 있는가?
• RQ3 정렬 시퀀스의 사상들과 호환되는 $\operatorname{H}^*(E,E)$의 컵 곱 구조는 어떻게 행동하는가?
• RQ4 호모로지 결과는 어떻게 호모로지 설정으로 확장되며, 토르 군은 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 사상 $\operatorname{H}^*(E,E) \to \operatorname{H}^*(A,A) \oplus \operatorname{H}^*(B,B)$가 링 준동형사상이 되는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 임의의 가환환 $k$에 대해 유효한 정렬 시퀀스를 구성하여 $\operatorname{H}^*(E,X)$를 $\operatorname{H}^*(A,X_{AA}) \oplus \operatorname{H}^*(B,X_{BB})$ 및 $\operatorname{Ext}^*_{A \otimes B^{\text{op}}, k}(M,X_{AB})$와 연결한다.
• 두 번째 장점 정렬 시퀀스는 $\operatorname{H}^*(E,X)$를 $\operatorname{H}^*(A,X_{AA})$ 및 $\operatorname{Ext}^*_{E \otimes B^{\text{op}}, k}(B_E, X1_B)$와 연결하며, 여기서 $B_E$는 몰입 사상 $\pi: E \to B$를 통해 $E$-이중모듈러로 본 $B$이다.
• 사상 $j^*: \operatorname{H}^*(E,E) \to \operatorname{H}^*(A,A) \oplus \operatorname{H}^*(B,B)$가 제한된 코체인에 의해 유도되는 정렬 링 준동형사상임을 보였다.
• 합성 $\phi^* = \widetilde{\gamma}^* \circ \widetilde{\delta}^*$는 $\operatorname{H}^*(B,B) \to \operatorname{Ext}^*_{A \otimes B^{\text{op}}, k}(M,M)$로의 사상이며, 컵 곱을 유지하며, 특정 부분복합체의 이미지에 속하는 $f$에 대해 $gf$의 이미지가 0이 되는 것으로 나타났다.
• 호모로지 형태(정리 1' 및 2')는 $k$-분해의 에피모르피즘에 대해 상대적인 토르 군을 사용하여 유도되었으며, $\operatorname{H}_*(A,X_{AA})$, $\operatorname{H}_*(B,X_{BB})$, $\operatorname{H}_*(E,X)$를 포함하는 정렬 시퀀스를 얻었다.
• 저자들은 $\operatorname{H}^*(E,E)$의 컵 곱이 정렬 시퀀스의 사상과 호환되며, $f$가 부분복합체의 이미지에 속할 경우 $gf$가 $(-1)^{rs}fg^\prime$와 호모로지적임을 보여주었으며, 이는 $[gf] = 0$이 되는 것을 의미한다.