[논문 리뷰] Hochschild Cohomology versus De Rham Cohomology without Formality Theorems

Vasiliy Dolgushev|ArXiv.org|2004. 05. 10.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 25인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 포멀리티 정리들을 사용하지 않고, 페도소프-웨인스타인-주 해상법을 사용하여 심플렉틱 다양체 위의 양자 함수 대수의 호흐실트 코hom로지 링과 $\mathbb{C}((\hbar))$ 계수를 가진 드 라함 코호몰로지 링 사이의 이somorphism를 수립한다. 주요 결과는 드 라함 코호몰로지에 유도된 제르스텐하버 브라켓이 0임을 보여주며, 이는 심플렉틱 경우의 소멸 구조를 확인한다.

ABSTRACT

We exploit the Fedosov-Weinstein-Xu (FWX) resolution proposed in q-alg/9709043 to establish an isomorphism between the ring of Hochschild cohomology of the quantum algebra of functions on a symplectic manifold M and the ring H(M, C((h))) of De Rham cohomology of M with the coefficient field C((h)) without making use of any version of the formality theorem. We also show that the Gerstenhaber bracket induced on H(M,C((h))) via the isomorphism is vanishing. We discuss equivariant properties of the isomorphism and propose an analogue of this statement in an algebraic geometric setting.

연구 동기 및 목표

• 포멀리티 정리들을 활용하지 않고, 심플렉틱 다양체 위의 양자 함수 대수의 호흐실트 코호몰로지와 $\mathbb{C}((\hbar))$ 계수를 가진 드 라함 코호몰로지 사이의 링 이omyorphism를 수립하는 것.
• 이 이omyorphism를 통해 드 라함 코호몰로지에 유도된 제르스텐하버 브라켓이 자명함(소멸함)임을 보이는 것.
• 이 이omyorphism의 등변 성질을 심플렉틱 변환에 대해 분석하고, 이를 대수기하학적 맥락으로 확장하는 것.
• 포멀리티 정리의 더 복잡한 호모토피 이론적 방법들과 대비하여, 심플렉틱 경우의 코호몰로지 이omyorphism에 대한 간결하고 직접적인 증명을 제공하는 것.

제안 방법

• 심플렉틱 다양체 위의 양자 함수 대수의 호흐실트 코チェ인 복합체에 대한 페도소프-웨인스타인-주( FWX) 해상법을 사용한다.
• FWX 해상법을 통해 호흐실트 코チェ인 복합체와 $\mathbb{C}((\hbar))$ 계수를 가진 드 라함 복합체 사이의 준동형을 구성한다.
• 이 이omyorphism를 통해 호흐실트 코호몰로지의 컵 곱 구조가 드 라함 코호몰로지의 외적 곱으로 대응됨을 증명한다.
• 이 이omyorphism의 대수적 구조를 분석함으로써 드 라함 코호몰로지에 유도된 제르스텐하버 브라켓이 소멸함을 보인다.
• 호흐실트 복합체의 형식적 와일 대수에 대한 등변 호모토피 연산자를 도입하여 $GL(2n,\mathbb{C})$-작용과의 호환성을 확보한다.
• 스펙트럴 시퀀스 기법과 호모로지 대수학을 적용하여 와일 대수의 호흐실트 코호몰로지를 계산하며, 이는 차수 0에서 $\mathbb{C}((\hbar))$이고, 그 외에는 모두 0임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 포멀리티 정리들을 사용하지 않고, 호흐실트 코호몰로지와 드 라함 코호몰로지 사이의 이omyorphism를 수립할 수 있는가?
• RQ2 호흐실트-드 라함 이omyorphism를 통해 끌려온 드 라함 코호몰로지에 대한 제르스텐하버 브라켓의 대수적 구조는 무엇인가?
• RQ3 코호몰로지 이omyorphism와 그 대수적 구조는 심플렉틱 미분동형사상이나 $GL(2n,\mathbb{C})$-작용 하에서 어떻게 행동하는가?
• RQ4 이 이omyorphism는 예를 들어 심플렉틱 구조를 가진 대수기하학적 다양체에 대해 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 포멀리티 정리들을 사용하지 않고, 페도소프-웨인스타인-주 해상법을 통해 심플렉틱 다양체 위의 양자 함수 대수의 호흐실트 코호몰로지 링은 $\mathbb{C}((\hbar))$ 계수를 가진 드 라함 코호몰로지 링과 이omyorphic하다.
• 이 이omyorphism를 통해 드 라함 코호몰로지에 유도된 제르스텐하버 브라켓은 식별적으로 0이며, 이는 자명한 리 대수 구조를 나타낸다.
• 이 이omyorphism는 $GL(2n,\mathbb{C})$ 작용과 호환되며, 증명에서 사용된 호모토피 연산자는 $GL(2n,\mathbb{C})$-등변적이다.
• 형식적 와일 대수 $W$의 호흐실트 코호몰로지는 차수 0에서 $\mathbb{C}((\hbar))$이고, 그 외에는 모두 0이며, 명시적인 호모토피 연산자가 구성되어 있다.
• 이 이omyorphism 하에서 호흐실트 코호몰로지의 컵 곱은 드 라함 코호몰로지의 외적 곱과 정확히 대응되며, 링의 구조를 유지한다.