[논문 리뷰] Hochschild homology and semiorthogonal decompositions

Alexander Kuznetsov|ArXiv.org|2009. 04. 28.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 17인용 수 77

한 줄 요약

이 논문은 매끄럽고 사영인 다양체의 코herent sheaf의 유도 범주에 속한 적절한 부분범주에 대한 Hochschild 코hom로지와 호모로지에 대한 기하학적 해석을 수립한다. 이들 불변량이 투영 함자 핵과 Serre 함자 핵의 복합체를 포함하는 유도 사상과 동형임을 증명하고, Hochschild 호모로지가 반직교 분해에 대해 가역적임을 보이며, Fano 3차곡선과 콘릭 밀도에 대한 핵심 응용을 포함한다.

ABSTRACT

We investigate Hochschild cohomology and homology of admissible subcategories of derived categories of coherent sheaves on smooth projective varieties. We show that the Hochschild cohomology of an admissible subcategory is isomorphic to the derived endomorphisms of the kernel giving the corresponding projection functor, and the Hochschild homology is isomorphic to derived morphisms from this kernel to its convolution with the kernel of the Serre functor. We investigate some basic properties of Hochschild homology and cohomology of admissible subcategories. In particular, we check that the Hochschild homology is additive with respect to semiorthogonal decompositions and construct some long exact sequences relating the Hochschild cohomology of a category and its semiorthogonal components. We also compute Hochschild homology and cohomology of some interesting admissible subcategories, in particular of the nontrivial components of derived categories of some Fano threefolds and of the nontrivial components of the derived categories of conic bundles.

연구 동기 및 목표

• 유도 범주의 코herent sheaf의 적절한 부분범주에 대한 Hochschild 코호몰로지와 호모로지를 DG-대각선에 의존하지 않는 기하학적, 핵 기반 해석을 제공하는 것.
• 유도 범주의 반직교 분해에 대해 Hochschild 호모로지의 가역성을 확립하는 것.
• 범주와 그 반직교 성분의 Hochschild 코호몰로지를 연결하는 장정확한 수열을 구성하는 것.
• Fano 3차곡선과 콘릭 밀도의 유도 범주의 비자명한 성분에 대한 Hochschild 불변량을 계산하는 것.
• 비영함수 추측을 제안하고 탐구하는 것: 즉, Hochschild 호모로지가 자명하면 범주도 자명하다는 주장.

제안 방법

• 적절한 부분범주 $\mathcal{A} \subset \mathcal{D}^b(X)$ 에 대한 투영 함자에 대응하는 핵 $P \in \mathcal{D}^b(X \times X)$ 를 사용한다.
• Hochschild 코호몰로지 $\mathcal{A}$ 를 $\mathsf{HH}^\bullet(\mathcal{A}) \cong \mathop{\mathsf{Hom}}\nolimits^{\bullet}_{X \times X}(P, P)$ 로 정의한다.
• Hochschild 호모로지 $\mathcal{A}$ 를 $\mathsf{HH}_\bullet(\mathcal{A}) \cong \mathbf{H}^\bullet(X \times X, P \otimes P^\mathsf{T}) \cong \mathop{\mathsf{Hom}}\nolimits^{\bullet}(P, P \otimes p_2^* \omega_X[\dim X])$ 로 정의한다.
• 생성자 $\mathcal{E}_\mathcal{A}$ 가 있는 $\mathcal{A}$ 의 DG-강화를 DG-대수 $C^\bullet = \mathop{\mathsf{RHom}}\nolimits^\bullet(\mathcal{E}_\mathcal{A}, \mathcal{E}_\mathcal{A})$ 를 통해 활용한다.
• HKR 동형과 호모로지 계산을 적용하여 $\mathsf{HH}_\bullet$ 와 $\mathsf{HH}^\bullet$ 의 명시적 공식을 Hodge 필드와 다항벡터장으로 표현한다.
• 전치 핵 $P^\mathsf{T}$ 와 기저 변경 정리를 사용하여 $\Delta^*P$ 와 $\Delta^!P$ 를 정규 및 쌍대정규 번들의 코호몰로지와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 적절한 부분범주에 대한 Hochschild 코호몰로지와 호모로지를 DG-대수에 의존하지 않고 어떻게 기하학적으로 표현할 수 있는가?
• RQ2 Hochschild 호모로지는 유도 범주의 반직교 분해에 대해 가역적인가?
• RQ3 범주와 그 반직교 성분의 Hochschild 코호몰로지를 연결하는 장정확한 수열을 구성할 수 있는가?
• RQ4 Fano 3차곡선과 콘릭 밀도의 비자명한 적절한 부분범주의 명시적 Hochschild 호모로지 및 코호몰로지 군은 무엇인가?
• RQ5 비영함수 추측이 제기하는 바에 따르면, Hochschild 호모로지가 영이면 범주도 자명한가?

주요 결과

• 적절한 부분범주 $\mathcal{A} \subset \mathcal{D}^b(X)$ 의 Hochschild 코호몰로지는 $\mathop{\mathsf{Hom}}\nolimits^{\bullet}_{X \times X}(P, P)$ 와 동형이며, 여기서 $P$ 는 $\mathcal{A}$ 로의 투영 함자 핵이다.
• Hochschild 호모로지는 $\mathbf{H}^\bullet(X \times X, P \otimes P^\mathsf{T})$ 와 동형이며, 이는 $\mathop{\mathsf{Hom}}\nolimits^{\bullet}(P, P \otimes p_2^* \omega_X[\dim X])$ 와도 같다.
• Hochschild 호모로지는 반직교 분해에 대해 가역적이다: $\mathcal{D}^b(X) = \langle \mathcal{A}_1, \dots, \mathcal{A}_n \rangle $ 이면 $\mathsf{HH}_\bullet(X) \cong \bigoplus_{i=1}^n \mathsf{HH}_\bullet(\mathcal{A}_i)$ 이다.
• 상대 차원 $n$ 의 콘릭 밀도 $f: X \to Y$ 에 대해, 비자명 성분 $\mathcal{A}_X$ 의 Hochschild 호모로지는 $\bigoplus_{p=0}^{n-1} R^1f_* \Omega^p_X[p-1]$ 과 동형이며, Hochschild 코호몰로지는 $\bigoplus_{p=0}^n \ker(\Lambda^p T_Y \to i_* (\Lambda^{p-1} T_D \otimes \mathcal{N}_{D/Y}))$ 와 동형이다.
• 비영함수 추측이 성립한다: 만약 $\mathsf{HH}_\bullet(\mathcal{A}) = 0$ 이면, 적절한 부분범주 $\mathcal{A} \subset \mathcal{D}^b(X)$ 에 대해 $\mathcal{A} = 0$ 이다. 이는 예외적 열의 완전성과 증가하는 적절한 부분범주의 수열의 안정성에 대한 함의를 가진다.
• 결론적으로, 만약 $X$ 가 모든 코호몰로지 클래스가 대수적이고, $E_1, \dots, E_n$ 이 $n = \dim_{\mathbb{Q}} H^\bullet(X, \mathbb{Q})$ 의 길이를 가진 예외적 열이면, 이 열은 완전하다. 즉, $\mathcal{D}^b(X) = \langle E_1, \dots, E_n \rangle$ 이다.