[논문 리뷰] Hochschild Lefschetz Class for $D$-modules

Ajay C. Ramadoss, Xiang Tang외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 03. 30.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 컴acts한 복소다양체 위의 $\mathcal{D}$-모듈에 대해 Hochschild Lefschetz 클래스를 도입하며, 군 작용을 통한 등변 설정으로 Hochschild 클래스를 일반화한다. 직접 이미지 호환성을 확립하고, $\Gamma$-등변 $\mathcal{D}$-모듈에 대해 오비폴드 Riemann-Roch 공식을 증명하여 오비폴드 체르니 캐릭터, 정규 번들의 오일러 클래스, 그리고 인ertia 오비폴드의 Todd 클래스를 통해 오일러 클래스를 표현한다.

ABSTRACT

We introduce a notion of Hochschild Lefschetz class for a good coherent D-module on a compact complex manifold, and prove that this class is compatible with the direct image functor. We prove an orbifold Riemann-Roch formula for a D-module on a compact complex orbifold.

연구 동기 및 목표

• 복소다양체 위의 군 작용을 포함한 등변 설정으로 Hochschild 클래스를 일반화하는 것.
• 홀로모르픽 군 작용 하에서 $\mathcal{D}$-모듈에 대해 Kashiwara-Schapira 구성의 일반화로 Hochschild Lefschetz 클래스를 정의하는 것.
• Hochschild Lefschetz 클래스가 직접 이미지 함자와 호환됨을 확립하는 것.
• 컴팩트한 복소오비폴드 위의 $\Gamma$-등변 코herent $\mathcal{D}$-모듈에 대해 오비폴드 Riemann-Roch 공식을 유도하는 것.
• 교차곱 대수 $\mathcal{D}_M \rtimes \Gamma$를 통한 추상 클래스와 새로운 오비폴드 Hochschild 클래스가 동치임을 보이는 것.

제안 방법

• 군 작용을 갖는 복소다양체 $M$ 위의 $\gamma$를 홀로모르픽 미분형으로 간주할 때, $H^0(X, \mathcal{H}\mathcal{H}(\widehat{\mathcal{E}}_X, \widehat{\mathcal{E}}_X^\gamma))$ 내에서 Hochschild Lefschetz 클래스 $hh^\gamma(\mathcal{M}, u)$를 정의하여 표준 Hochschild 클래스를 일반화하는 것.
• 표준 Hochschild 클래스의 일반화된 성질을 보존하기 위해, $hh^\gamma(\mathcal{M}, u)$를 $\iota_!({\mathbb{C}}_{X^\gamma}[\dim(X^\gamma)])$로 가는 quasi-isomorphism의 이미지로 Lefschetz 클래스를 구성하는 것.
• 다양체 $X = T^*M$ 위의 형식 미크로디퍼렌셜 연산자층 $\widehat{\mathcal{E}}_X$를 통해 미크로로컬 기법을 사용하는 것.
• $\Gamma$-등변 $\mathcal{D}$-모듈 $\mathcal{M}$에 대해 오비폴드 Hochschild 클래스를 $\frac{1}{|\Gamma|}\sum_{\gamma \in \Gamma} hh^\gamma(\mathcal{M}, \gamma)$로 정의하는 것.
• Bressler-Nest-Tsygan의 기법을 사용하여 이 클래스가 $\mathcal{D}_M \rtimes \Gamma$-모듈로부터 유도되는 클래스와 동치임을 증명하는 것.
• 홀로모르픽 설정에서 국소화 및 체르니 캐릭터 기법을 적용하여 오비폴드 Riemann-Roch 공식을 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 $\mathcal{D}$-모듈의 Hochschild 클래스를 복소다양체 위의 군 작용을 포함한 등변 설정으로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 등변 맥락에서 직접 이미지 함자에 대해 Hochschild Lefschetz 클래스의 행동은 어떠한가?
• RQ3 군 원소에 대한 합을 통한 방식으로 정의된 오비폴드 Hochschild 클래스는 교차곱 대수 $\mathcal{D}_M \rtimes \Gamma$를 통한 추상 클래스와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 컴팩트한 복소오비폴드 위의 $\Gamma$-등변 $\mathcal{D}$-모듈에 대해 오일러 클래스의 Riemann-Roch 공식은 어떤 형태인가?
• RQ5 오비폴드 Riemann-Roch 공식은 오비폴드 체르니 캐릭터, 정규 번들의 오일러 클래스, 그리고 인ertia 오비폴드의 Todd 클래스로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• Hochschild Lefschetz 클래스 $hh^\gamma(\mathcal{M}, u)$는 $H^0(X, \mathcal{H}\mathcal{H}(\widehat{\mathcal{E}}_X, \widehat{\mathcal{E}}_X^\gamma))$ 내에서 잘 정의되어 있으며, $\gamma = \mathrm{id}$일 때 표준 Hochschild 클래스로 축소된다.
• Hochschild Lefschetz 클래스는 직접 이미지 함자와 호환되며, 표준 Hochschild 클래스의 성질을 일반화한다.
• 군 원소에 대한 합을 통한 방식으로 정의된 오비폴드 Hochschild 클래스 $\frac{1}{|\Gamma|}\sum_{\gamma \in \Gamma} hh^\gamma(\mathcal{M}, \gamma)$는 $\mathcal{D}_M \rtimes \Gamma$-모듈로부터 유도된 클래스와 동치이다.
• 오비폴드 Riemann-Roch 공식에 의한 오일러 클래스는 $\mathrm{eu}_Q(\mathcal{M}) = \left(\frac{1}{m} \mathrm{ch}_Q(\sigma_{\mathrm{char}(\mathcal{M})}(\mathcal{M})) \wedge \mathrm{eu}_Q(N) \wedge \pi_M^*Td(IQ_M)\right)_{\dim(IQ_X)}$로 주어지며, 여기서 $IQ_X$는 인ertia 오비폴드이다.
• 증명은 홀로모르픽 국소화 및 체르니 캐릭터 기법의 변형에 기반하며, $\widehat{\mathcal{W}}_X(0)$의 특성류는 $\frac{1}{\hbar}\omega + \frac{1}{2}\pi_M^*c_1(TX)$로 주어지며, 대수적 설정에서의 알려진 결과와 일치한다.