[논문 리뷰] Hochschild products and global non-abelian cohomology for algebras. Applications

A. L. Agore, G. Militaru|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 18.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 36인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 주어진 전순사 선형 사상 $\pi: E \to A$ 가 대수 준동형사상이 되게 하는 벡터 공간 $E$ 위의 모든 단위 결합 대수의 구조를 분류하기 위해 전역 비아벨 코hom로지 객체 $\mathbb{G}H^2(A,V)$ 를 도입한다. 이러한 대수들은 모두 일반화된 호치시ลด 제품 $A \star V$ 와 동형이며, 이들의 자기동형군은 준직접곱의 부분군으로 계산되며, 파울슨 대수와 슈퍼해소적 코알제브라에의 적용이 있다.

ABSTRACT

Let $A$ be a unital associative algebra over a field $k$, $E$ a vector space and $π: E o A$ a surjective linear map with $V = { m Ker} (π)$. All algebra structures on $E$ such that $π: E o A$ becomes an algebra map are described and classified by an explicitly constructed global cohomological type object ${\mathbb G} {\mathbb H}^{2} \, (A, \, V)$. Any such algebra is isomorphic to a Hochschild product $A \star V$, an algebra introduced as a generalization of a classical construction. We prove that ${\mathbb G} {\mathbb H}^{2} \, (A, \, V)$ is the coproduct of all non-abelian cohomologies ${\mathbb H}^{2} \, \, (A, \, (V, \cdot))$. The key object ${\mathbb G} {\mathbb H}^{2} \, (A, \, k)$ responsible for the classification of all co-flag algebras is computed. All Hochschild products $A \star k$ are also classified and the automorphism groups ${ m Aut}_{ m Alg} (A \star k)$ are fully determined as subgroups of a semidirect product $A^* \, \ltimes \bigl(k^* imes { m Aut}_{ m Alg} (A) \bigl)$ of groups. Several examples are given as well as applications to the theory of supersolvable coalgebras or Poisson algebras. In particular, for a given Poisson algebra $P$, all Poisson algebras having a Poisson algebra surjection on $P$ with a $1$-dimensional kernel are described and classified.

연구 동기 및 목표

• 고정된 전순사 사상 $\pi: E \to A$ 가 대수 준동형사상이 되게 하는 벡터 공간 $E$ 위의 모든 단위 결합 대수의 구조를 분류함으로써 단위 결합 대수의 전역 확장 문제를 해결한다.
• 모든 이러한 확장을 분류하는 새로운 전역 코hom로지 객체 $\mathbb{G}H^2(A,V)$ 를 도입하고 특성화한다.
• 모든 이러한 대수는 고전적 구성의 일반화인 호치시لد 프로덕트 $A \star V$ 와 동형임을 보인다.
• 이러한 대수들의 자기동형군을 $A^* \ltimes (k^* \times \mathrm{Aut}_{\mathrm{Alg}}(A))$ 의 부분군으로 계산하여 구조적 기술을 제공한다.
• 이 틀을 파울슨 대수와 슈퍼해소적 코알제브라에 적용하여 3차원 히젠베르크-파울슨 대수로의 전순사 사상이 있고 1차원 핵을 가진 4차원 파울슨 대수를 모두 분류한다. 이 경우 무한한 가중치 가중치 $\omega, \tau \in k$ 를 가진 두 무한 가족이 포함된다.

제안 방법

• 고정된 벡터 공간 $V = \ker(\pi)$ 와 함께, $\pi: E \to A$ 가 전순사 대수 준동형사상이 되게 하는 $E$ 위의 모든 결합 대수의 구조를 분류하는 전역 확장 문제를 정의한다.
• 다양한 $V$ 위의 대수 구조에 대해 모든 비아벨 코호몰로지 $\mathbb{H}^2(A, (V, \cdot))$ 의 쌍대곱으로서 전역 코호몰로지 객체 $\mathbb{G}H^2(A,V)$ 를 구성한다.
• 모든 이러한 확장을 실현하는 보편적 구성으로 호치시لد 프로덕트 $A \star V$ 를 도입한다.
• 자기동형사상의 명시적 호환 조건을 유도하여, 자기동형사상 집합 위에 군 구조를 도출한다.
• $\mathrm{Aut}_{\mathrm{Alg}}(A \star k)$ 의 자기동형군이 곱셈 법칙이 지정된 준직접곱 $A^* \ltimes (k^* \times \mathrm{Aut}_{\mathrm{Alg}}(A))$ 에로의 임베딩이 있음을 증명한다.
• 파울슨 대수에 적용하기 위해 공플래그 데이터를 구성하고, 3차원 히젠베르크-파울슨 대수로의 1차원 핵을 가진 모든 4차원 파울슨 대수를 분류한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 벡터 공간 $E$ 위의 모든 단위 결합 대수의 구조는 어떻게 분류할 수 있는가? 이때 고정된 전순사 사상 $\pi: E \to A$ 가 대수 준동형사상이 되게 하기 위해.
• RQ2 전역 코호몰로지 객체 $\mathbb{G}H^2(A,V)$ 는 이러한 대수 확장을 분류하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 호치시لد 프로덕트 $A \star V$ 는 이러한 확장들의 보편적 모델로 어떻게 작용하는가?
• RQ4 $A$ 가 주어졌을 때, 자기동형군 $\mathrm{Aut}_{\mathrm{Alg}}(A \star k)$ 의 구조는 무엇인가?
• RQ5 이 틀은 어떤 파울슨 대수로의 전순사 사상과 1차원 핵을 가진 파울슨 대수를 분류하는 데 어떻게 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 대수 준동형사상이 되는 $E$ 위의 모든 대수의 구조는 전역 코호몰로지 객체 $\mathbb{G}H^2(A,V)$ 에 의해 분류되며, 이는 모든 비아벨 코호몰로지 $\mathbb{H}^2(A, (V, \cdot))$ 의 쌍대곱이다.
• 모든 이러한 대수는 고전적 구성의 일반화인 호치시لد 프로덕트 $A \star V$ 와 동형이다.
• $\mathrm{Aut}_{\mathrm{Alg}}(A \star k)$ 의 자기동형군은 곱셈 법칙이 지정된 $A^* \ltimes (k^* \times \mathrm{Aut}_{\mathrm{Alg}}(A))$ 의 부분군과 동형이다.
• 3차원 히젠베르크-파울슨 대수 $\mathcal{H}(3,k)$ 에 대해, $\mathcal{H}(3,k)$ 로의 전순사 사상이 있고 핵이 1차원인 4차원 파울슨 대수는 정확히 다섯 종류의 동형 유형을 가지며, 이 중 두 무한 가족인 $P_4^\omega$ 와 $P_5^\tau$ 는 $\omega, \tau \in k$ 에 따라 매개변수화되어 있다.
• $P_{(\lambda,\Lambda,\vartheta,\gamma,f)}$ 와 같은 각 파울슨 대수의 자기동형군은 곱셈이 정의된 군 $\mathcal{GP}(P, (\lambda,\Lambda,\vartheta,\gamma,f))$ 와 동형이며, $P^* \ltimes_\zeta (k^* \times \mathrm{Aut}_{\mathrm{Poss}}(P))$ 로의 단사 군 준동형사상이 존재한다.
• 3차원 히젠베르크-파울슨 대수로의 전순사 사상이 있고 핵이 1차원인 4차원 파울슨 대수의 분류는 연속 매개변수 $\omega$ 와 $\tau$ 를 가짐에도 불구하고, 유한한 수의 단위 결합 대수만 존재하는 것과는 달리 무한히 많은 서로 동형이 아닌 유형을 낳는다.