[논문 리뷰] Hochschild-Witt complex

D. Kaledin|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 06.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 특성 $p$인 완전체 위의 결합 대수에 대해 순수하게 호모로지적 구축을 통해 Hochschild-Witt 복합체 $WCH_{\bullet}(A)$를 도입한다. 이는 Hesselholt의 유희벡터와 de Rham-Witt 복합체를 일반화한다. 추적 이론과 순환 호모로지 체계를 사용하여, 차수 0 호모로지가 Hesselholt의 유희벡터 군을 복원하고, Hochschild-Kostant-Rosenberg 설정에서 de Rham-Witt 복합체를 복원함을 보인다.

ABSTRACT

In arxiv:1602.04254, we have defined polynomial Witt vectors functor from vector spaces over a perfect field $k$ of positive characteristic $p$ to abelian groups. In this paper, we use polynomial Witt vectors to construct a functorial Hochschild-Witt complex $WCH_*(A)$ for any associative unital $k$-algebra $A$, with homology groups $WHH_*(A)$. We prove that the group $WHH_0(A)$ coincides with the group of non-commutative Witt vectors defined by Hesselholt, while if $A$ is commutative, finitely generated, and smooth, the groups $WHH_i(A)$ are naturally identified with the terms $WΩ^i_A$ of the de Rham-Witt complex of the spectrum of $A$.

연구 동기 및 목표

• 특성 $p$인 필드 위의 결합 대수에 대해 $p$-형식 유희벡터와 de Rham-Witt 복합체의 비가환 일반화를 Hochschild 호모로지로 구축하기.
• 특성 $p$인 완전체 위의 결합 대수 $A$에 대해 함자적 Hochschild-Witt 복합체 $WCH_{\bullet}(A)$를 정의하기.
• 복합체 $WCH_{\bullet}(A)$의 차수 0 호모로지가 Hesselholt의 유희벡터 군 $W(A)$로 복원됨을 보장하기.
• Hochschild-Kostant-Rosenberg 설정에서 복합체 $WCH_{\bullet}(A)$를 통해 de Rham-Witt 복합체를 복원하기.
• 상위 순환 호모로지나 스펙트럼에 대한 참조 없이도 독립적인 Hochschild-Witt 복합체에 대한 자가 포함된 호모로지 체계 제공하기.

제안 방법

• 대수 $A$와 $A$-양변 모듈러스 $M$에 대해 이변수 Hochschild-Witt 호모로지 $WHH_{\bullet}(A,M)$를 사용하며, [K2]의 추적 이론에 기반한다.
• 기저 체 $k$에 대해 정의한 후, 순환 카테고리 $\Lambda$ 위의 함자 이론을 활용하여 일반적 기계를 통해 $WHH_{\bullet}(A,M)$를 구성한다.
• Connes의 순환 체계를 적용하여 순환 호모로지에 대한 선형대수적 프레임워크를 개발하며, $\Lambda$ 위의 복합체에 집중한다.
• 표준 사상 $\nu_{p^n}$과 그 성질을 활용하여 $\mathbb{K}^{(n)}(A^\natural)$과 $\mathbb{K}_\bullet(\pi_{p^n!}i_{p^n}^*A^\natural)$를 연결하고, 사상 $\eta = \nu_{p^n} \oplus (B \circ \nu_{p^n})$를 사용한다.
• 사상 $\eta$에 의해 유도된 장점 정렬 시퀀스를 분석하여 연결 미분이 0임을 보이고, $\eta$의 핵과 상을 규명한다.
• $\operatorname{Ker} \nu_{p^n} \cong B\mathbb{K}^{(n)}_\bullet(A^\natural)$ 및 $\operatorname{Coker} \nu_{p^n} \cong Z\mathbb{K}^{(n)}_\bullet(A^\natural)[1]$의 동형을 활용하여 $HC_\bullet(\operatorname{Ker} \eta)$의 구조를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 $p$인 필드 위의 결합 대수에 대해 순수하게 호모로지적 구축이 가능한 Hochschild-Witt 복합체를 정의할 수 있는가?
• RQ2 이 복합체의 차수 0 호모로지가 Hesselholt의 유희벡터 군 $W(A)$를 복원하는가?
• RQ3 부드러운 교환 법칙 성립 시 복합체가 de Rham-Witt 복합체를 복원하는가?
• RQ4 상위 순환 호모로지나 스펙트럼에 대한 참조 없이도 이 구축이 가능한가?
• RQ5 순환 호모로지와 추적 사상의 관점에서 Hochschild-Witt 복합체의 구조는 어떠한가?

주요 결과

• Hochschild-Witt 복합체 $WCH_{\bullet}(A)$의 차수 0 호모로지 군 $WHH_0(A)$는 Hesselholt의 유희벡터 군 $W(A)$와 동형이다.
• Hochschild-Kostant-Rosenberg 설정에서 복합체 $WCH_{\bullet}(A)$는 Deligne와 Illusie의 de Rham-Witt 복합체를 복원한다.
• $\eta = \nu_{p^n} \oplus (B \circ \nu_{p^n})$는 전사이며, 그 핵은 $Z\mathbb{K}^{(n)}_\bullet(A^\natural)[1]$에 대한 $B\mathbb{K}^{(n)}_\bullet(A^\natural)$의 확장이다.
• 사상 $\eta$에 의해 유도된 장점 정렬 시퀀스에서 연결 미분은 0이며, 이는 $HC_\bullet(\operatorname{Coker} \eta) \to HC_{\bullet-1}(\operatorname{Ker} \eta)$가 0임을 의미한다.
• $HC_\bullet(\mathbb{K}^{(n)}_\bullet(A^\natural) \oplus \mathbb{K}^{(n)}_\bullet(A^\natural)[1]) \to HC_\bullet(\mathbb{K}_\bullet(\pi_{p^n!}i_{p^n}^*A^\natural))$의 유도된 사상은 전사이며, 핵은 $HC_\bullet(\operatorname{Ker} \eta)$이며, 이는 $B_nHH_\bullet(A)$에 의한 $Z_nHH_{\bullet-1}(A)$의 확장이다.
• $\overline{M}_n^{\bullet} \cong HC_\bullet(\mathbb{K}_\bullet(\pi_{p^n!}i_{p^n}^*A^\natural))$는 $HH_\bullet(A) \oplus HH_{\bullet-1}(A)$와 동형이며, 사상 $\eta$의 핵이 관련된 확장 자료를 포괄한다.