[논문 리뷰] HOD in inner models with Woodin cardinals

Sandra Müller, Grigor Sargsyan|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 20.

Advanced Topology and Set Theory인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 Π¹ₙ₊₂-결정성 하에서, 실수 x에 대한 n개의 우드린 카디널을 가진 표준 내부 모델 Mn(x)과 Lévy 붕괴 일반화 g에 대한 일반화 확장 Mn(x)[g]에서의 고유 순서로 정의 가능한 집합들(HOD)이, M∞의 반복의 직접 극한인 M∞|δ∞와 부분 반복 전략 Λ를 바탕으로 한 정교한 구조 모델 Mn(M∞|δ∞, Λ)과 일치함을 증명한다. 여기서 M∞는 Mn+1의 반복의 직접 극한이며, δ∞는 M∞의 최소 우드린 카디널이며, Λ는 부분 반복 전략이다. 이 결과는 HODMn(x)[g]가 GCH와 기타 정교한 구조 원리들을 만족함을 확인한다.

ABSTRACT

We analyze the hereditarily ordinal definable sets $\operatorname{HOD}$ in $M_n(x)[g]$ for a Turing cone of reals $x$, where $M_n(x)$ is the canonical inner model with $n$ Woodin cardinals build over $x$ and $g$ is generic over $M_n(x)$ for the L\'evy collapse up to its bottom inaccessible cardinal. We prove that assuming $\boldsymbol\Pi^1_{n+2}$-determinacy, for a Turing cone of reals $x$, $\operatorname{HOD}^{M_n(x)[g]} = M_n(\mathcal{M}_{\infty} | \kappa_\infty, \Lambda),$ where $\mathcal{M}_\infty$ is a direct limit of iterates of $M_{n+1}$, $\delta_\infty$ is the least Woodin cardinal in $\mathcal{M}_\infty$, $\kappa_\infty$ is the least inaccessible cardinal in $\mathcal{M}_\infty$ above $\delta_\infty$, and $\Lambda$ is a partial iteration strategy for $\mathcal{M}_{\infty}$. It will also be shown that under the same hypothesis $\operatorname{HOD}^{M_n(x)[g]}$ satisfies $\operatorname{GCH}$.

연구 동기 및 목표

• 논문은 결정성 가정 하에서 우드린 카디널을 가진 내부 모델에서 HOD의 구조를 조사한다.
• HODMn(x)[g]가 정교한 구조 모델인지, 특히 GCH를 만족하는지 판단하는 것을 목표로 한다.
• HODMn(x)[g]를 Mn+1의 반복의 직접 극한 위에 구축된 표준 내부 모델로 특성화하는 것을 연구한다.
• 반복 전략과 일반화 확장이 HOD의 구조를 안정화시키는 데 미치는 역할을 분석한다.
• HODMn(x)[g]가 ̂M∞|κ∞와 Λ를 바탕으로 한 모델 Mn( ̂M∞|κ∞, Λ)과 동일함을 증명하는 것을 포함한다.

제안 방법

• 분석은 Mn(x) 위에서의 Lévy 붕괴 Col(ω, <κ)를 사용한다. 여기서 κ는 Mn(x) 내의 최소 비가역 카디널이다.
• Mn+1의 반복에서 유도된 직접 극한 모델 M∞를 구성하며, M∞ 내의 최소 우드린 카디널 δ∞에 초점을 맞춘다.
• Mn(M∞|δ∞, F↾δ∞)와 HODMn(x)[g]를 비교하기 위해 완전 배경화 확장자 구조와 비교 기법을 사용한다.
• 부분 반복 전략 Λ는 ΣM⁻ₙ₊₁의 제한으로, ̂M∞|κ∞ 내의 올바르게 지시된 유한 스택에 대해 정의된다.
• 부울 값 비교 기법을 사용하여, 특정 반복 R이 M∞의 ΣM⁻ₙ₊₁-반복이자 가짜 정규 반복인 가산 n-적합 모델의 반복임을 보인다.
• 증명는 ̂M∞|κ∞와 Λ로부터 π∞↾δ∞의 정의 가능성에 기반하며, 일반화성과 원소적 동치성을 이용하여 HODMn(x)[g]와 Mn( ̂M∞|κ∞, Λ) 간의 등식을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Π¹ₙ₊₂-결정성 하에서 HODMn(x)[g]는 일반화 연속체 가설(GCH)을 만족하는가?
• RQ2 HODMn(x)[g]는 어떤 직접 극한 모델 M∞와 전략 Λ에 대해 표준 정교한 구조 모델 Mn(M∞|δ∞, Λ)과 동일한가?
• RQ3 Mn(x)[g] 내의 HOD의 구조는 Mn+1의 반복의 직접 극한 위에 구축된 모델로 특성화될 수 있는가?
• RQ4 M∞ 위의 반복 전략 Λ는 HODMn(x)[g]의 정의 가능성과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 일반화 확장 g는 HOD의 구조를 안정화시키고 비교 논증을 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• Π¹ₙ₊₂-결정성 하에서 HODMn(x)[g] = Mn(M∞|δ∞, Λ)이며, 여기서 M∞는 Mn+1의 반복의 직접 극한이고, Λ는 부분 반복 전략이다.
• 모델 HODMn(x)[g]는 Mn( ̂M∞|κ∞, Λ)과 동일하며, 여기서 ̂M∞ = Mn(M∞|δ∞)이고 κ∞는 δ∞를 초과하는 ̂M∞ 내의 최소 비가역 카디널이다.
• 반복 전략 Λ는 HODMn(x)[g] 내에서 정의 가능하며, π∞↾δ∞는 ̂M∞|κ∞와 Λ로부터 정의 가능하다.
• HODMn(x)[g]는 일반화 연속체 가설(GCH)을 비롯한 기타 조합론적 원리인 ♦를 만족한다.
• 등식 HODMn(x)[g] = Mn(M∞|δ∞, π∞↾δ∞)가 성립하며, 이는 HODMn(x)[g] = Mn( ̂M∞|κ∞, Λ)과 동치이다.
• 결과는 Mω와 Mω+42와 같은 다른 표준 자가반복 내부 모델로 일반화되며, 소수의 수정만을 필요로 한다.