[논문 리뷰] Hodge and Prym tau functions, Jenkins-Strebel differentials and combinatorial model of $\mathcal M_{g,n}$

Marco Bertola, D. Korotkin|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 07.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 30인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 임의의 조합적 모듈리 공간 $\mathcal{M}_{g,n}$ 위의 선다발의 명시적 절단을 Jenkins-Strebel 미분형식에서 유도된 Hodge 및 Prym 타우함수를 사용하여 구성한다. 이러한 타우함수의 위상에 대한 단일화된 단계를 분석함으로써, 코드미ension-2 순환을 둘러싼 단일화군을 통해 코homology 클래스의 Poincaré 쌍대체를 Witten의 순환 $W_5$ 및 Kontsevich의 경계 $W_{1,1}$의 조합적 조합으로 식별하며, Mumford와 Penner의 관계에 대한 조합적 해석을 제공한다.

ABSTRACT

The principal goal of the paper is to apply the approach inspired by the theory of integrable systems to construct explicit sections of line bundles over the combinatorial model of the moduli space of pointed Riemann surfaces based on Jenkins-Strebel differentials. The line bundles are tensor products of the determinants of the Hodge or Prym vector bundles with the standard tautological line bundles $\mathcal L_j$ and the sections are constructed in terms of tau functions. The combinatorial model is interpreted as the real slice of a complex analytic moduli space of quadratic differentials where the phase of each tau-function provides a section of a circle bundle. The phase of the ratio of the Prym and Hodge tau functions gives a section of the $κ_1$-circle bundle. By evaluating the increment of the phase around co-dimension $2$ sub-complexes, we identify the Poincaré\ dual cycles to the Chern classes of the corresponding line bundles: they are expressed explicitly as combination of Witten's cycle $W_5$ and Kontsevich's boundary. This provides combinatorial analogues of Mumford's relations on $\mathcal M_{g,n}$ and Penner's relations in the hyperbolic combinatorial model. The free homotopy classes of loops around $W_5$ are interpreted as pentagon moves while those of loops around Kontsevich's boundary as combinatorial Dehn twists. Throughout the paper we exploit the classical description of the combinatorial model in terms of Jenkins--Strebel differentials, parametrized in terms of {\it homological coordinates}; we also show that they provide Darboux coordinates for the symplectic structure introduced by Kontsevich. We also express the latter in clear geometric terms as the intersection pairing in the odd homology of the canonical double cover.

연구 동기 및 목표

• 이바라기계통에서 유도된 타우함수를 사용하여 조합적 모델 $\mathcal{M}_{g,n}$ 위의 선다발에 대한 명시적 절단을 구성하는 것.
• Hodge 및 Prym 타우함수의 위상을 원환면 다발의 절단으로 해석하고, 이를 타우토로지컬 클래스와 연결하는 것.
• 조합적 모델에서 $\lambda$, $\lambda_P$, 및 $\kappa_1$ 클래스의 Poincaré 쌍대 순환체를 단일화군 분석을 통해 식별하는 것.
• Jenkins-Strebel 미분형식의 맥락에서 Mumford 및 Penner의 관계에 대한 조합적 해석을 수립하는 것.
• 펜타곤 이동 및 Dehn 변형과 같은 위상적 연산을 $W_5$ 및 $W_{1,1}$를 둘러싼 단일화군 작용으로 해석하는 것.

제안 방법

• 기본 주기 좌표를 통해 조합적 모델 $\mathcal{M}_{g,n}[\mathbf{p}]$ 를 Jenkins-Strebel 미분형식으로 매개변수화하는 것.
• 메로모르픽 2차 미분형식 공간 $\mathcal{Q}_{g,n}^{\mathbf{k},\mathbf{l}}$ 에서 Hodge ($\tau_+$) 및 Prym ($\tau_-$) 타우함수를 정의하는 것.
• 등단일화 변형 이론을 적용하여 $\tau_\pm$ 에 대한 미분방정식을 유도하고, 그들의 단일화군을 분석하는 것.
• 단일화군을 통해 $\tau_\pm$ 의 위상을 원환면 다발의 절단으로 간주하고, 코드미ension-2 하위복합체를 둘러싼 단일화군이 Poincaré 쌍대체를 유도함을 식별하는 것.
• Kontsevich의 심플렉틱 형식을 주기적 적분으로 표현하고, 이가 이중 커브의 홀로모르피 기저의 교차쌍대와 일치함을 보이는 것.
• 다르보 좌표(호몰로지 좌표)를 사용하여 심플렉틱 구조를 실현하고, 이를 조합적 모델과 연결하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Jenkins-Strebel 모델에서 $\psi_i$-클래스의 조합적 순환체는 무엇인가요?
• RQ2 Kontsevich의 경계 $W_{1,1}$ 은 어떻게 보완되어야 하며, Deligne-Mumford 컴actsification $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 와의 일대일 대응을 이루게 되나요?
• RQ3 모든 $\lambda$-클래스는 $\kappa$-클래스 관계에 의존하지 않고, JS 조합적 모델 내의 순환체로 직접 표현될 수 있나요?
• RQ4 평탄한 조합적 모델만을 사용하여 선형 Hodge 적분의 KP 계층 생성함수를 자가 포함적으로 유도할 수 있나요?
• RQ5 펜타곤 이동 및 조합적 Dehn 변형은 $W_5$ 및 $W_{1,1}$ 을 둘러싼 $\tau_\pm$ 의 위상 단일화군과 어떻게 대응되나요?

주요 결과

• Hodge 클래스 $\lambda + \frac{1}{12}\sum \psi_i$ 의 Poincaré 쌍대체는 $\mathrm{Pic}(\overline{\mathcal{M}}_{g,n}[\mathbf{p}], \mathbb{Q})$ 에서 $\frac{1}{144}W_5 + \frac{13}{144}W_{1,1}$ 이다.
• Prym 클래스 $\lambda_P + \frac{1}{12}\sum \psi_i$ 의 Poincaré 쌍대체는 $\frac{13}{144}W_5 + \frac{25}{144}W_{1,1}$ 이며, 이는 Prym 클래스 관계에 대한 조합적 해석을 제공한다.
• $\kappa_1$-클래스는 $12\kappa_1 = W_5 + W_{1,1}$ 를 만족하며, 이는 기존의 조합적 모델 내 관계에 대한 새로운 증명을 제공한다.
• 비율 $\Theta_- / \Theta_+ = \left( \tau_- / |\tau_-| \right)^{48} / \left( \tau_+ / |\tau_+| \right)^{48}$ 은 $48$-중 원환면 다발 $S[(\chi_\kappa)^{48}]$ 의 절단을 이룬다.
• $\Phi_+$ (즉, $\tau_+$ 의 위상) 의 $W_5$ 를 둘러싼 단일화군은 펜타곤 이동에 대응하며, $W_{1,1}$ 을 둘러싼 단일화군은 조합적 Dehn 변형에 대응한다.
• $\Phi_-$ (즉, $\tau_-$ 의 위상) 의 $W_5$ 와 $W_{1,1}$ 을 둘러싼 단일화군은 동일한 위상적 해석을 확인하며, 이는 이러한 순환체의 기하학적 역할을 검증한다.