[논문 리뷰] Hodge metric completion of the moduli space of Calabi-Yau manifolds

Kefeng Liu, Yang Shen|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 01.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 21인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 극화되고 표시된 칼라비-ยอ우 다양체의 토렐리 공간의 호지 메트릭 완비화가 복소 아핀 다양체임을 증명하며, 이 완비화 공간으로부터 주기 도메인으로의 주기 함수가 단사임을 보인다. 또한 이 완비화 공간이 완비 켈러-아인슈타인 메트릭을 지닌 유계 영역의 해석적 영역임을 규명하여, 복소 차원 ≥3에서 칼라비-ยอ우 다양체의 토렐리 문제와 모듈리 기하학의 핵심 측면을 해결한다.

ABSTRACT

In this paper, it is proved that the Hodge metric completion of the moduli space of polarized and marked Calabi-Yau manifolds, i.e. the Torelli space, is a complex affine manifold. As applications we prove that the period map from the Torelli space and the extended period map from its completion space, both are injective into the period domain, and that the completion space is a bounded domain of holomorphy with a complete Kähler-Einstein metric. As a corollary we show that the period map from the moduli space of polarized Calabi-Yau manifolds with level $m$ structure is also injective.

연구 동기 및 목표

• 극화되고 표시된 칼라비-ยอ우 다양체의 토렐리 공간의 호지 메트릭 완비화를 복소 아핀 다양체로 설정하는 것.
• 토렐리 공간과 그 완비화에서 주기 도메인으로의 주기 함수의 단사성을 증명하는 것.
• 호지 메트릭 완비화 공간이 완비 켈러-아인슈타인 메트릭을 지닌 유계 영역의 해석적 영역임을 보이는 것.
• m ≥ 3인 경우 레벨 m의 구조를 가진 모듈리 공간으로 주기 함수의 단사성의 확장을 하는 것.
• 호지 메트릭 완비화와 해석적 아핀 구조를 통해 모듈리 공간의 위상적 및 기하학적 구조를 명확히 하는 것.

제안 방법

• 주기 함수와 호지 메트릭을 이용하여 테이히뮐러 공간에 전역 해석적 아핀 구조를 구성하는 것.
• 주기 도메인에서의 호지 메트릭의 인버스 풀백에 대한 토렐리 공간의 메트릭 완비화로 호지 메트릭 완비화를 정의하는 것.
• 모듈리 공간 $\mathcal{Z}_m$ 에서의 주기 함수를 그 범죄 공간 $\mathcal{T}$ 와 토렐리 공간 $\mathcal{T}'$ 로 올리며, 관련 다이어그램의 가환성을 확보하는 것.
• 반-캄펜 정리를 사용하여 $\mathcal{Z}_m$ 이 그 호지 메트릭 완비화 $\mathcal{Z}_m^H$ 에 포함될 때 기본군의 호모모르피즘을 전사로 유도하는 것.
• 호지 메트릭의 완비성과 곡률 성질을 활용하여 호지 메트릭 완비화 공간이 유계 영역의 해석적 영역임을 증명하는 것.
• 유일한 올림과 주기 함수의 비퇴화성에 기반하여, 완비화 공간에서 주기 도메인으로의 주기 함수가 단사임을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 칼라비-ยอ우 다양체의 토렐리 공간의 호지 메트릭 완비화는 복소 아핀 다양체인가?
• RQ2 호지 메트릭 완비화 공간에서의 주기 함수가 주기 도메인으로 여전히 단사적인가?
• RQ3 호지 메트릭 완비화 공간은 완비 켈러-아인슈타인 메트릭을 지닌 유계 영역의 해석적 영역인가?
• RQ4 m ≥ 3 인 경우 레벨 m의 구조를 가진 모듈리 공간으로 주기 함수의 단사성은 확장되는가?
• RQ5 모듈리 공간 $\mathcal{Z}_m$, 그 호지 메트릭 완비화 $\mathcal{Z}_m^H$, 그리고 이들의 기본군 사이의 위상적 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 극화되고 표시된 칼라비-ยอ우 다양체의 토렐리 공간의 호지 메트릭 완비화는 복소 아핀 다양체이다.
• 토렐리 공간에서 주기 도메인으로의 주기 함수는 단사적이다.
• 호지 메트릭 완비화 공간은 유계 영역의 해석적 영역이다.
• 호지 메트릭 완비화 공간은 완비 켈러-아인슈타인 메트릭을 지닌다.
• m ≥ 3 인 경우 레벨 m의 구조를 가진 모듈리 공간에서의 주기 함수는 추론적으로 단사적이다.
• $\mathcal{Z}_m$ 이 그 호지 메트릭 완비화 $\mathcal{Z}_m^H$ 에 포함될 때 기본군에 대한 전사 호모모르피즘이 유도된다.