[논문 리뷰] Hofer-Zehnder semicapacity of cotangent bundles and symplectic submanifolds

Leonardo Macarini|ArXiv.org|2003. 03. 19.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 15인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 호퍼-제른드 $G$-반-capacity라는 개념을 도입하며, 주어진 호모토플래스 $G \subset \pi_1(M)$ 내의 폐포 궤도에 민감한 심플렉틱 불변량을 제시한다. 기하학적으로 유계인 심플렉틱 다양체 $M$에서 자유 원 작용을 갖는 열린 부분집합 $N \subset M$는 $G_\varphi$-반-capacity가 유계임을 증명한다. 여기서 $G_\varphi$는 궤도의 호모토플래스로 생성된 부분군이다. 이는 심플렉틱 부분다양체 근처의 거의 모든 에너지 수준에서 수축 가능한 폐포 궤도의 존재를 시사하며, 진츠부르크와 구렐의 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

We introduce the concept of Hofer-Zehnder $G$-semicapacity (or $G$-sensitive Hofer-Zehnder capacity) and prove that given a geometrically bounded symplectic manifold $(M,ω)$ and an open subset $N \subset M$ endowed with a Hamiltonian free circle action $ϕ$ then $N$ has bounded Hofer-Zehnder $G_ϕ$-semicapacity, where $G_ϕ\subset π_1(N)$ is the subgroup generated by the homotopy class of the orbits of $ϕ$. In particular, $N$ has bounded Hofer-Zehnder capacity. We give two types of applications of the main result. Firstly, we prove that the cotangent bundle of a compact manifold endowed with a free circle action has bounded Hofer-Zehnder capacity. In particular, the cotangent bundle $T^*G$ of any compact Lie group $G$ has bounded Hofer-Zehnder capacity. Secondly, we consider Hamiltonian circle actions given by symplectic submanifolds. For instance, we prove the following generalization of a recent result of Ginzburg-Gürel: almost all low levels of a function on a geometrically bounded symplectic manifold carry contractible periodic orbits of the Hamiltonian flow, provided that the function attains its minimum along a closed symplectic submanifold.

연구 동기 및 목표

• 지정된 호모토플래스 $G \subset \pi_1(M)$ 내의 폐포 궤도에 민감한 새로운 심플렉틱 불변량인 호퍼-제른드 $G$-반-capacity를 정의하고 연구하는 것.
• 기하학적으로 유계인 심플렉틱 다양체에서 자유 해밀턴 원 작용을 갖는 열린 부분집합에 대해 이 반-capacity의 유계성을 확립하는 것.
• 콤��� 리 군의 코타angent bundle가 유계 호퍼-제른드 용량을 갖는다는 것을 보여주기 위해 결과를 적용하는 것.
• 함수 $H$가 심플렉틱 부분다양체에서 일정할 때, 거의 모든 정규 에너지 수준이 수축 가능한 폐포 궤도를 지닌다는 것을 일반화하는 것 — 진츠부르크와 구렐의 결과를 확장한다.

제안 방법

• 모든 비상수 폐포 궤도 중에서 호모토플래스가 $G$에 속하는 것들이 주기 1보다 큰 $G$-적합 해밀토니안 클래스 ${\cal H}_a^G(M,\omega)$를 정의한다.
• 해밀토니안 $H$에 대해 $G$-적합일 때 $\max H$의 상한을 취해 $c_{\mathrm{HZ}}^G(M,\omega)$를 정의하며, 이는 $G$-민감한 호퍼-제른드 반-capacity가 된다.
• 기하학적으로 유계인 심플렉틱 다양체에 이론을 적용하며, 호환 가능한 거의 복소 구조와 유계 기하학이 역학을 제어할 수 있음을 보장한다.
• $\mathbb{Z}_2$-작용을 통한 몫 구조를 사용하여 $M$의 폐포 궤도를 $M/\mathbb{Z}_2$의 궤도와 연결하며, 대칭성을 활용해 과도한 휘어짐 궤도가 존재할 경우 모순을 이끌어내는 데 사용한다.
• 도함수가 제어 가능한 함수 $f$를 사용한 편경화 방법을 적용하여, $|f'| \leq 1 + 2\delta$를 만족하는 전-적합 해밀토니안 $H' = f \circ \widehat{H}$를 구성함으로써 반-capacity의 유계성을 유지한다.
• 맥더프와 슬리모위츠의 과도한 휘어짐 임계점에 관한 결과를 적용하여 짧은 주기 궤도의 부재를 보장하며, 이러한 궤도가 존재할 경우 모순을 이끌어내는 데 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기하학적으로 유계인 심플렉틱 다양체에서 자유 원 작용을 갖는 열린 부분집합에 대해 호퍼-제른드 $G$-반-capacity가 유계로 유지되는가?
• RQ2 해밀토니안 함수가 심플렉틱 부분다양체에서 일정할 경우, 그 근처의 거의 모든 에너지 수준에서 수축 가능한 폐포 궤도의 존재를 보장할 수 있는가?
• RQ3 $G$-민감한 호퍼-제른드 용량은 표준 용량과 과도한 휘어짐 임계점의 존재와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 $\mathbb{Z}_2$-몫에 의한 대칭 해밀토니안 시스템에서 폐포 궤도의 행동은 어떠한가?
• RQ5 $c_{\mathrm{HZ}}^G$의 유계성이 특정 호모토플래스 내에서 폐포 궤도의 일반 존재성을 유도하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 기하학적으로 유계인 심플렉틱 다양체 $M$의 열린 부분집합 $N \subset M$에 대해, 자유 해밀턴 원 작용을 갖는 경우 $G = G_\varphi$가 궤도의 호모토플래스로 생성된 부분군일 때 호퍼-제른드 $G$-반-capacity는 유계이다.
• 모든 콤팩트 리 군 $G$의 코타angent bundle $T^*G$는 유계 호퍼-제른드 용량을 갖는다. 이는 자유 원 작용을 갖기 때문이다.
• 닫힌 심플렉틱 부분다양체 $S$ 근처에 정의된 함수 $H$에 대해 $H|_S$가 일정할 경우, 거의 모든 정규 에너지 수준 $H^{-1}(e)$는 수축 가능한 폐포 궤도를 지닌다.
• 해밀토니안 $H$가 과도한 휘어짐 임계점을 갖지 않으면, 그 $\mathbb{Z}_2$-대칭 평균 $\widehat{H}$ 역시 과도한 휘어짐 임계점을 갖지 않는다.
• 도함수의 크기가 $|f'| \leq 1 + 2\delta$인 편경화 해밀토니안 $H' = f \circ \widehat{H}$를 구성할 경우, $X_H$ 또는 $X_{H \circ \psi}$가 짧은 주기 궤도를 갖는다면 모순이 발생하며, 이는 반-capacity의 유계성을 증명한다.
• 심플렉틱 임베딩에 대해 $c_{\mathrm{HZ}}^{\psi_*^{-1}H}(N,\tau) \leq c_{\mathrm{HZ}}^H(M,\omega)$라는 약한 단조성 성질이 성립하며, 이는 반-capacity가 당김에 대해 불변임을 뒷받침한다.