[논문 리뷰] Holder continuity of solutions to the complex Monge-Ampere equations on compact Kahler manifolds

Phạm Hoàng Hiệp|ArXiv.org|2009. 04. 27.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 컴팩트 카플러 다양체 위에서 복소 면적-암페르 방정식에 대한 결과의 부분 역을 확립한다. 즉, 비음성 라돈 측도 $\mu$가 균일한 성장 조건 $\mu(B(z,r)) \leq Ar^{2n-2+\alpha}$를 만족하면, 모든 $f \in L^p(d\mu)$에 대해 $p > 1$일 때 방정식 $\omega_u^n = f d\mu$는 허더 연속 해 $u$를 가진다. 이 결과는 $C^1$ 초면에 의해 유도된 측도와 가중 측도로 확장되며, 중간 정도의 측도 조건 하에서 해의 최적 정규성 임계값을 제공한다.

ABSTRACT

We study Hölder continuity of solutions to the Monge-Ampère equations on compact Kähler manifolds. In [DNS] the authors have shown that the measure $ω_u^n$ is moderate if $u$ is Hölder continuous. We prove a theorem which is a partial converse to this result.

연구 동기 및 목표

• 허더 연속인 하부해가 중간 정도의 면적-암페르 측도를 유도한다는 결과의 부분 역을 확립하기.
• 복소 면적-암페르 방정식 $\omega_u^n = f d\mu$가 허더 연속 해를 가지는 비음성 라돈 측도의 집합을 특성화하기.
• 하우스도르프 유형 성장이 낮은 차원을 가진 측도, 특히 $C^1$ 초면 위의 체적 측도를 포함한 정규성 결과를 확장하기.
• 약한 측도 가정 하에서 복소포텐셜 이론의 안정성 및 용적 추정을 통합하고 일반화하기.
• 컴팩트 카플러 다양체 위에서 복소 면적-암페르 방정식의 해가 허더 연속이 되도록 보장하는 측도 $\mu$에 대한 충분 조건을 제공하기.

제안 방법

• 측도의 성장과 $\Cal{H}(\alpha,A)$ 조건 간의 관계를 제어하기 위해 $C_X$ 용적과 앨렉산더 용적 $T_X$ 를 사용하기.
• 콜로지에의 $L^p$-안정성 정리와 디네우-짱의 개선을 활용한 면적-암페르 해의 안정성 추정 적용하기.
• 콘볼루션과 최대 함수 기법을 사용하여 측도 성장 조건 하에서 차이 $\int_K [u_\delta - u] d\mu$에 대한 핵심 추정 수립하기.
• 측도 성장 조건 $\mu(B(z,r)) \leq Ar^{2n-2+\alpha}$ 하에서 안정성 결과를 증명하며, 이는 $\mu \in \Cal{H}(\infty)$임을 암시한다.
• 라플라스 연산자의 성장 제어와 허더 연속성 간의 관계를 위해 제닝의 공식과 조화함수 추정을 활용하기.
• $L^p$ 적분 가능성에 기반한 정규화와 최대 함수와의 비교를 통한 편미분 문제의 축소, $f$의 $L^p$ 적분 가능성 활용하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 컴팩트 카플러 다양체 위에서 복소 면적-암페르 방정식 $\omega_u^n = f d\mu$가 허더 연속 해 $u$를 가지기 위한 측도 $\mu$에 대한 조건은 무엇인가?
• RQ2 허더 연속성이 측도의 중간 정도 성장 조건을 유도한다는 결과의 역을 복소 면적-암페르 연산자에 대해 확립할 수 있는가?
• RQ3 비음성 라돈 측도 $\mu$의 최적 성장률은 무엇이어야 하며, 이는 $f \in L^p(d\mu)$, $p > 1$일 때 $\omega_u^n = f d\mu$의 해가 허더 연속이 되게 하는가?
• RQ4 $C^1$ 스무스 초면 위의 체적 측도가 해의 허더 연속성 조건을 얼마나 잘 만족하는가?
• RQ5 측도 성장 조건 $\mu(B(z,r)) \leq Ar^{2n-2+\alpha}$와 같은 약한 측도 가정 하에서 복소포텐셜 이론의 안정성 추정은 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 모든 $B(z,r) \subset X$에 대해 $\mu(B(z,r)) \leq Ar^{2n-2+\alpha}$를 만족하는 비음성 라돈 측도 $\mu$는 $\mu \in \Cal{H}(\infty)$임을 의미하며, 이는 용적 성장에 대한 강력한 제어를 암시한다.
• 모든 $f \in L^p(d\mu)$에 대해 $p > 1$이고 $\int_X f d\mu = 1$일 때, $\omega_u^n = f d\mu$는 허더 연속인 $\omega$-하부해 $u$를 가지며, 이 허더 지수는 $\alpha$, $A$, $p$, 그리고 다양체 $X$에 따라 달라진다.
• 측도 성장 조건 하에서 해 $u$는 임의의 $\epsilon > 0$에 대해 지수 $\frac{\alpha - \epsilon}{2(1 + \alpha)}$를 가진 허더 연속이다.
• 보조정리 B는 $\varphi$가 허더 연속이고 $f \in L^p(\omega_\varphi \wedge \omega^{n-1})$일 때, $\omega_u^n = f \omega_\varphi \wedge \omega^{n-1}$이 허더 연속 해를 가진다는 것을 보여준다.
• 보조정리 C는 임의의 $C^1$ 스무스 초면 $S$와 $f \in L^p(dV_S)$, $p > 1$일 때, $\omega_u^n = f dV_S$가 허더 연속 해를 가진다는 것을 확립한다.
• 증명은 $\int_K [u_\delta - u] d\mu \leq C \delta^{\frac{\alpha - \epsilon}{2(1 + \alpha)}}$를 제어하는 안정성 추정에 기반하며, 이는 최대 함수와 콘볼루션 기법을 통해 $u$의 허더 연속성을 암시한다.