[논문 리뷰] Holographic codes

José I. Latorre, Germán Sierra|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 23.

Advanced Memory and Neural ComputingEngineering인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 절대적인 최대 얽힘을 가진 네 큐튜비트 상태에서 유도된 헬로그래픽 양자 코드인 H-코드를 소개한다. 이는 중성화 규칙을 통해 경계에서 내부로의 완벽한 사상 가능성을 보장하며, 위상적 순서를 나타내고, 매우 비국소적인 해밀토니안에 의해 안정화되며, 위상적 얽힘 엔트로피가 -1인 특징을 지닌다. 이는 내부 상태 간의 해밍 거리가 지수적으로 큰 새로운 종류의 위상적 순서를 가진 양자 메모리의 가능성을 보여준다.

ABSTRACT

There exists a remarkable four-qutrit state that carries absolute maximal entanglement in all its partitions. Employing this state, we construct a tensor network that delivers a holographic many body state, the H-code, where the physical properties of the boundary determine those of the bulk. This H-code is made of an even superposition of states whose relative Hamming distances are exponentially large with the size of the boundary. This property makes H-codes natural states for a quantum memory. H-codes exist on tori of definite sizes and get classified in three different sectors characterized by the sum of their qutrits on cycles wrapped through the boundaries of the system. We construct a parent Hamiltonian for the H-code which is highly non local and finally we compute the topological entanglement entropy of the H-code.

연구 동기 및 목표

• 경계와 내부 자유도가 균형 잡힌 초위상 상태를 통해 엄격하게 연결된 헬로그래픽 양자 코드를 구축하는 것.
• 모든 분할에서 절대적 최대 얽힘을 가진 다체 양자 상태를 실현하여 강건한 양자 메모리 기능을 가능하게 하는 것.
• 삼각형을 기반으로 한 텐서 네트워크를 정의하여, 각 삼각형에서의 합이 3을 법으로 0이 되는 중성화 규칙을 강제하는 것.
• H-코드의 부모 해밀토니안 H = H_Z + H_X를 유도하여, 위상적 순서를 가진 기저 상태를 안정화시키는 것.
• 위상적 얽힘 엔트로피를 계산하고, 국소적 변형에 대해 불변임을 보여주는 것.

제안 방법

• H-코드는 2차원 삼각형 격자 위의 삼각형 단위로 구성된 텐서 네트워크를 사용하며, 보조 큐튜비트가 각 상향 삼각형에 대해 s₁ + s₂ + s₃ ≡ 0 (mod 3)의 중성화 규칙을 강제한다.
• 기초가 되는 네 큐튜비트 상태 |ψ⟩ = ∑_{s,i} |s⟩_phys |i, i+s, i+2s⟩_ancillae 는 절대적 최대 얽힘을 보이며, 네트워크의 기본 구성 요소로 기능한다.
• 네트워크는 각 행의 물리적 인덱스가 위의 행의 인덱스 합에 의해 결정되며, 이는 s₃ = -s₁ - s₂ (mod 3) 와 동치이다.
• 구축 과정은 헬로그래픽 방향의 선택에 관계없이 불변이므로 격자 전반에서 일관성을 유지한다.
• 부모 해밀토니안 H = H_Z + H_X 가 유도되며, H_Z 는 중성화 규칙을 강제하고 H_X 는 지수적 지지 범위를 가진 비국소 연산자를 통해 degeneracy 를 깨뜨린다.
• H_X 는 모든 상향 삼각형에 대해 X 와 X⁻¹ 의 곱을 포함하는 매우 비국소적인 연산자이며, 지지 범위가 6^k 로 증가하여 H-코드가 주어진 위상적 섹터 내에서 유일한 기저 상태임을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계 상태가 유일하게 내부 상태를 단위 매핑을 통해 결정할 수 있는 헬로그래픽 양자 코드를 구성할 수 있는가?
• RQ2 절대적으로 최대 얽힘을 가진 네 큐튜비트 상태로 구성된 다체 양자 상태의 얽힘 및 위상적 성질은 무엇인가?
• RQ3 최대 얽힘과 큰 해밍 거리를 가진 위상적 양자 코드를 안정화시키기 위해 어떻게 비국소 해밀토니안을 설계할 수 있는가?
• RQ4 이러한 코드의 위상적 얽힘 엔트로피는 얼마이며, 시스템 분할의 국소적 변화에 대해 불변인가?
• RQ5 H-코드는 서로 다른 위상적 섹터로 분류될 수 있으며, 이러한 섹터들은 내부 관측량을 통해 구별 가능한가?

주요 결과

• H-코드는 경계와 내부의 제품 상태에 대한 균형 잡힌 초위상 상태이며, 내부 상태는 중성화 규칙을 통해 경계 상태로부터 유일하게 결정된다.
• H-코드의 위상적 얽힘 엔트로피는 정확히 -1이며, 공식 S_top = S_ABC - S_AB - S_AC - S_BC + S_A + S_B + S_C 를 통해 계산된다.
• 내부 영역 A의 축소 밀도 행렬 ρ_A 는 m < 3^k 큐튜비트에 대해 완전히 혼합된 상태이다: ρ_A = (1/3^m) I_{3^m}, 이는 작은 부분계에서 완전한 무질서를 나타낸다.
• 부모 해밀토니안 H = H_Z + H_X 는 주어진 위상적 섹터 내에서 H-코드를 유일한 기저 상태로 안정화하며, H_X 는 매우 비국소적이며 6^k 연산자를 지지한다.
• H-코드는 내부 상태 간에 지수적으로 큰 해밍 거리를 가지며, 최대 구별 가능성으로 인해 양자 메모리로서 자연스러운 후보가 된다.
• 토러스 상의 세 개의 서로 다른 H-코드 상태(S로 표기)는 내부 관측량을 통해 위상적으로 구별 불가능하며, 위상적 순서를 확인한다.