[논문 리뷰] Holography and Riemann Surfaces

Kirill Krasnov|ArXiv.org|2000. 05. 11.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 19인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 고전적 슈타이너 군을 사용하여 유클리드 AdS₃를 이산적 동치로 나누어, 임의의 종수를 가진 리만 곡면 경계를 가진 점점 아인슈타인-디시터스(AdS) 공간으로 2+1차원 호로그래피를 확장한다. 정규화된 중력 작용이 타크타잔과 조프로프가 정의한 리만 곡면 위의 리우빌 작용을 정확히 재현함을 보여, 테이히뮐러 이론과 호로그래피적 열역학을 연결하는 블록/경계 대응을 수립하며, 고종수 곡면 위에서 경계 CFT 분할 함수의 고전적 실현을 제공한다.

ABSTRACT

We study holography for asymptotically AdS spaces with an arbitrary genus compact Riemann surface as the conformal boundary. Such spaces can be constructed from the Euclidean AdS_3 by discrete identifications; the discrete groups one uses are the so-called classical Schottky groups. As we show, the spaces so constructed have an appealing interpretation of ``analytic continuations'' of the known Lorentzian signature black hole solutions; it is one of the motivations for our generalization of the holography to this case. We use the semi-classical approximation to the gravity path integral, and calculate the gravitational action for each space, which is given by the (appropriately regularized) volume of the space. As we show, the regularized volume reproduces exactly the action of Liouville theory, as defined on arbitrary Riemann surfaces by Takhtajan and Zograf. Using the results as to the properties of this action, we discuss thermodynamics of the spaces and analyze the boundary CFT partition function. Some aspects of our construction, such as the thermodynamical interpretation of the Teichmuller (Schottky) spaces, may be of interest for mathematicians working on Teichmuller theory.

연구 동기 및 목표

• 단순한 경계 위상구조를 넘어서 임의의 종수를 가진 리만 곡면을 경계로 하는 2+1차원 호로그래피를 일반화하는 것.
• 고전적 슈타이너 군을 사용한 이산적 동치를 통해 비자명한 위상 구조를 가진 유클리드 AdS₃ 공간을 구성하는 것.
• 이러한 공간에 대한 정규화된 온-shell 중력 작용이 타크타잔과 조프로프가 정의한 리만 곡면 위의 리우빌 작용과 정확히 일치함을 보이는 것.
• 유도된 기하학을 열역학적 관점에서 해석하고, 반고전적 근사에서 경계 CFT 분할 함수를 유도하는 것.
• 테이히뮐러 공간과 슈타이너 공간의 수학적 구조를 물리적 호로그래피 관측량, 예를 들어 열역학적 매개변수와 상관 함수 등과 연결하는 것.

제안 방법

• 고전적 슈타이너 군을 사용하여 유클리드 AdS₃를 몫으로 취해, 임의의 종수를 가진 리만 곡면 경계를 가진 점점 아인슈타인-디시터스 공간을 구성하는 것.
• 중력 경로적분의 반고전적 근사에서, 분할 함수가 주어진 경계 메트릭을 만족하는 고전적 해의 온-shell 작용에 의해 결정됨을 사용하는 것.
• 체적 정규화를 통해 중력 작용을 정규화하여 각 공간에 대해 유한하고 잘 정의된 양을 얻는 것.
• 벨트라미 미분과 2차 미분의 쌍대성 관계를 이용해, 정규화된 작용을 타크타잔과 조프로프가 정의한 리만 곡면 위의 리우빌 작용과 일치시킴.
• 웨일-페터슨 계량과 테이히뮐러 이론을 활용하여 리만 곡면의 모듈리 공간을 이러한 블록 기하학의 매개변수 공간으로 해석하는 것.
• 슈타이너 군 매개변수를 열역학적 변수로 매핑하며, 색시안 미분 전개에서의 계수 $ c_i^ u $ 가 광범위한 매개변수 역할을 함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 호로그래피는 경계가 임의의 종수를 가진 리만 곡면인 점점 아인슈타인-디시터스 공간으로 의미 있게 확장될 수 있는가?
• RQ2 이러한 공간에 대한 정규화된 중력 작용은 2차원 등각(field) 이론에서 알려진 작용과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 호로그래피적 중력과 열역학의 맥락에서 테이히뮐러 공간과 슈타이너 공간의 물리적 해석은 무엇인가?
• RQ4 슈타이너 군의 매개변수는 경계 CFT의 열역학적 양들과 어떻게 대응되는가?
• RQ5 이러한 일반화된 호로그래피적 설정에서 경계 CFT 분할 함수는 블록 중력 경로적분으로부터 도출될 수 있는가?

주요 결과

• 임의의 종수를 가진 리만 곡면 경계를 가진 유클리드 AdS₃ 공간에 대한 정규화된 온-shell 중력 작용이 타크타잔과 조프로프가 정의한 리만 곡면 위의 리우빌 작용을 정확히 재현한다.
• 이러한 구성은 내부 웜홀 위상 구조를 가진 로렌츠계 블랙홀 해의 '해석적 계속'으로서 이러한 공간을 실현하며, 유클리드와 로렌츠계 호로그래피를 연결한다.
• 균일화 사상의 색시안 미분 전개에서의 계수 $ c_i^ u $ 는 광범위한 열역학적 매개변수를 나타내며, 슈타이너 좌표 $ ho_i $ 는 강한 매개변수 역할을 한다.
• 경계 CFT 분할 함수는 반고전적 근사에서 블록 중력 경로적분에 의해 완전히 결정되며, 그 결과는 리만 곡면 위의 리우빌 이론의 분할 함수와 동일하다.
• 테이히뮐러 공간 위의 웨일-페터슨 계량은 블록 기하학으로부터 자연스럽게 유도되며, 모듈러 군에 대해 불변인 켈러 구조를 제공한다.
• 테이히뮐러 공간에서 슈타이너 공간으로의 사상은 벡터장과 2차 미분의 업그레이드를 가능하게 하여, 이중 CFT의 모듈리 의존성에 기하학적 실현을 가능하게 한다.