[논문 리뷰] Holography with an Inner Boundary: A Smooth Horizon as a Sum over Horizonless States

Chethan Krishnan, Pradipta S. Pathak|arXiv (Cornell University)|2026. 01. 26.

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한 줄 요약

이 논문은 두 경계(외부 점근적 토러스와 내부 늘어진 수평선 경계)를 사용하는 bulk AdS3/CFT2 구성에서 Chern-Simons 이론으로 Virasoro S-kernel의 벌크 해석과 horizonless 상태들의 합으로 BTZ 분광 분해를 도출하고, primaries와 descendants로 Cardy 엔트로피를 재생산함을 제시한다.

ABSTRACT

The (holomorphic) partition function of the Euclidean BTZ black hole with boundary modulus $τ$, is the $S$-image of the Virasoro vacuum character, $χ_{ m vac}(-1/τ)$. This object decomposes into primaries via the modular $S$-kernel: $χ_{ m vac}\left(-\frac{1}τ ight)=\int_{0}^{\infty} dP S_{0P}(P,c)χ_P(τ)$. In this paper, we provide a bulk understanding of this spectral resolution using the Chern-Simons formulation of AdS$_3$ gravity with $two$ boundaries: an asymptotic torus and an excised Wilson line at the origin ("stretched horizon"). At infinity, we impose standard AdS$_3$ Drinfel'd-Sokolov (DS) gauge to obtain the Alekseev-Shatashvili (AS) boundary action for a coadjoint orbit. At the inner boundary, removing the Wilson line prepares the state at the cut as a sum over orbits of the $spatial$ cycle. Re-inserting a spatial holonomy Wilson line acts as a delta-function projector onto the corresponding primary, which together with boundary gravitons, reproduces the Virasoro character (e.g., of a conical defect). But we can also consider projectors onto the $conjugate$ basis $ ilde P$, of the dual cycle. A key observation is that this leads to $S$-kernels instead of delta functions, with the BTZ character arising when the dual cycle label is in the exceptional orbit. Our two-boundary construction provides a bulk understanding of BTZ entropy: holonomy zero modes at the horizon have an effective central charge $c_{ m prim}=c-1$ from the kernel measure (primaries), while the universal Dedekind-$η$ in $χ_P(τ)$ contributes $c_{ m desc}=1$ from boundary gravitons (descendants). Together, they reproduce the full Cardy entropy. While our methods are specific to AdS$_3$/CFT$_2$, they are an explicit illustration that smoothness of the (Euclidean) horizon may emerge from a $sum$ over bulk states which are manifestly unsmooth.

연구 동기 및 목표

• Euclidean AdS3/CFT2에서 늘어진 수평선을 통해 블랙홀 열역학에 대한 원자처럼 UV 보완을 모티베이션 한다.
• 두 경계가 있는 bulk Chern-Simons 구성으로 BTZ의 모듈러 스펙트럼 분해를 horizonless 상태들의 합으로 도출한다.
• Primaries(늘어난 수평선 상태)와 descendants(경계 중력자)가 Cardy 엔트로피를 재현하는 방법을 명확히 한다.
• 홀로노미와 Wilson line 삽입이 BTZ 임계값 위의 미시상태를 어떻게 유도하고 Virasoro 문자와의 연결을 어떻게 하는지 설명한다.

제안 방법

• AdS3 중력의 SL(2,R)×SL(2,R) Chern-Simons 형식을 사용한다.
• Dirichlet 내부 경계 조건을 가진 두 경계(외부 점근 토러스와 내부 제외 Wilson line) 설정을 도입한다.
• Alekseev-Shatashvili 경계 작용을 점근 영역에 적용하고 Virasoro의 coadjoint orbit의 holonomy/orbit 데이터를 분석한다.
• 내부 경계의 holonomies를 primary 표지와 연결하고 bulk Janus cobordism 경로적분으로 S-kernel 변환으로 분해함으로써 분해를 얻는다.
• annulus 상태에서 분해를 계산하고 bulk Fourier kernel을 primaries 또는 그쌍을 향한 projection으로 표현하여 Virasoro 문자들을 재현한다.
• 수평선 제로 모드가 cprim = c−1에 기여하고 경계 중력자가 cdesc = 1에 기여하여 Cardy 엔트로피를 도출하는 방식을 시연한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유클리드 공간에서 내부 경계가 있는 AdS3 중력이 어떻게 BTZ 홀로모픽 분해를 S-kernel 변환으로 실현하는지의bulk 스펙트럼 분해를 구현할 수 있는가?
• RQ2 두 경계 Chern-Simons 설정이 primaries와 descendants로 Virasoro 문자 분해를 재현하고 horizonless 상태들로 BTZ 엔트로피를 설명할 수 있는가?
• RQ3 primaries와 descendants의 벌크 해석은 holonomies, orbit, Alekseev-Shatashvili 작용의 관점에서 어떤 의미를 가지는가?
• RQ4 Wilson line 삽입은 BTZ 임계값 위의 미시상태를 어떻게 소스하며 이는 원뿔형 결함 및 쌍사적 holonomy와 어떤 관계가 있는가?

주요 결과

• Virasoro S-kernel의 벌크 퓨전 변환으로서의 벌크 Co-adjoint orbit들에 대한 2-경계 CS 구성을 통한 해석.
• Primaries(늘어난 수평선 상태)가 cprim = c − 1에 기여하고 descendants(경계 중력자)가 cdesc = 1에 기여하여 BTZ 엔트로피의 Cardy 증가를 재현한다.
• 공간 홀로노미 Wilson line은 primary로의 투영을 수행하고, conjugate holonomies는 S-kernel을 던지며 delta 함수가 아닌 포커스로써 작용하며, dual 주기가 exceptional orbit에 놓일 때 BTZ가 발생한다.
• Janus cobordism 경로적분에 의해 생성된 안눌루스 상태는 자연스럽게 primaries와 descendants로 분리되어 경계 CFT의 모듈러 특성에서 기대와 일치한다.
• 이 프레임워크는 horizon의 매끄러움이 horizonless bulk 상태들의 합으로 나타날 수 있음을 보여주며, 유클리드 평활한 수평선이 미해결된 미시상상으로부터 어떻게 유도될 수 있는지를 보여준다.