[논문 리뷰] Holomorphic curves in the presence of holomorphic hypersurface foliations

Agustín Moreno, Richard Siefring|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 07.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 10인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 안정 해밀토니안 다양체 내의 가짜 힐베르트 곡선이 정상 궤도의 법선 콘리-젠더 지수에 제약 조건이 있을 경우, 전체가 $\r$-불변의 힐베르트 초표면로 이루어진 분할의 한 叶에 포함되어야 한다는 조건을 설정한다. 핵심 결과는 곡선이 한 叶에 포함되어 있을 때만 그 기저 표면으로의 사영 지ap의 차수(degree)가 정확히 0이 되며, 모스 함수의 임계점에서의 부호 조건이 차수의 부호 또는 0 여부를 결정한다.

ABSTRACT

We prove a result which establishes restrictions on the pseudoholomorphic curves which can exist in a stable Hamiltonian manifold in the presence of certain $\mathbb{R}$-invariant foliations of the symplectization by holomorphic hypersurfaces. This result has applications in the first author's work on algebraic torsion in higher dimensional contact manifolds.

연구 동기 및 목표

• 안정 해밀토니안 다양체에 대해 $\r$-불변의 힐베르트 초표면로 이루어진 분할이 존재할 때, 가짜 힐베르트 곡선의 존재에 대한 위상적 제약 조건을 설정하는 것.
• 표면 위의 $f$-가능한 분할에서 섬유의 심플렉틱 법선(bundle)과 관련된 구멍이 난 가짜 힐베르트 곡선의 행동을 분석하는 것.
• 곡선이 분할의 한 叶에 완전히 포함되어야 하는 조건을, 기저 표면의 접선 공간으로 향하는 심플렉틱 법선(bundle)에서의 사영 지간의 부호에 기반하여 결정하는 것.
• 콘리-젠더 지수 제약 조건을 사용하여 기저 표면으로의 사영 지간의 차수와 곡선이 叶에 포함되어 있는지의 관계를 연결하는 것.

제안 방법

• 표면 $\Sigma$ 위의 모스 함수 $f$의 임계점에서의 섬유가 강한 안정 해밀토니안 초표면이 되는 $f$-가능한 분할 $(\Sigma, p, Y, f)$를 정의한다.
• 사영 $p_*$의 방향성 행동을 이용하여 심플렉틱 법선(bundle) $\xi_V^\perp$의 심플렉틱 평탄화의 선호된 호모토피류를 구성한다.
• 구멍이 난 점에서의 법선 콘리-젠더 지수 $\mu_N^\Phi(\gamma_{z}^{m_z}) \in \{-1, 0, 1\}$를 사용하여 점점 가까워지는 행동과 회전 수를 제어한다.
• 사영 지간 $\bar{v}: S \setminus \Gamma \to \Sigma$를 정의하고 상대적 고리 수 $\operatorname{wind}_{\text{rel}}^\Phi$와 점점 가까워지는 고리 수 $\operatorname{wind}_\infty^\Phi$를 사용하여 그 차수를 계산한다.
• 코로나리 2.8을 적용하여, 차수가 0이면서 곡선이 한 叶과 교차할 경우, 곡선이 반드시 그 叶에 완전히 포함되어야 한다고 보여준다.
• 사영 지간 $p_*$의 부호를 사용하여 차수의 부호를 결정한다: 모든 임계점에서 $\operatorname{sign}(w) = 1$ 이면 양수, $\operatorname{sign}(w) = -1$ 이면 음수, 부호가 혼합되어 있으면 0이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 구멍이 난 가짜 힐베르트 곡선이 $\r$-불변의 힐베르트 초표면로 이루어진 분할의 한 叶에 포함되어야 하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 심플렉틱 법선(bundle)에서 기저 표면의 접선 공간으로 향하는 사영 지간 $p_*$의 부호가 기저 표면으로의 사영 지간의 차수에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 정상 궤도의 법선 콘리-젠더 지수가 곡선이 叶에 포함되어 있는지 여부를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 사영 지간 $\bar{v}$의 차수가 언제 0이 되며, 이는 곡선의 분할에 대한 위치에 대해 어떤 의미를 갖는가?
• RQ5 가짜 힐베르트 곡선이 한 叶에 포함되어 있는지 여부를 차수와 고리 수와 같은 위상적 불변량만으로 특징지을 수 있는가?

주요 결과

• 모든 임계점 $w \in \operatorname{crit}(f)$에 대해 $\operatorname{sign}(w) = 1$ 이면, 사영 지간 $\bar{v}$는 음이 아닌 차수를 가지며, 차수의 값이 0이 되는 것은 $\tilde{u}$의 상(image)이 분할 $\mathcal{F}$의 한 叶에 포함되어 있을 때에만 성립한다.
• 모든 임계점 $w \in \operatorname{crit}(f)$에 대해 $\operatorname{sign}(w) = -1$ 이면, 사영 지간 $\bar{v}$는 양이 아닌 차수를 가지며, 차수의 값이 0이 되는 것은 $\tilde{u}$의 상이 분할 $\mathcal{F}$의 한 叶에 포함되어 있을 때에만 성립한다.
• 부호 함수 $\operatorname{sign}: \operatorname{crit}(f) \to \{-1,1\}$가 전사일 경우, $\deg(\bar{v}) = 0$ 이며 $\tilde{u}$의 상은 분할 $\mathcal{F}$의 한 叶에 포함되어 있다.
• 지간 $\bar{v}$의 차수가 정확히 0이 되는 것은 모든 구멍이 난 점 $z \in \Gamma^\pm$에 대해 상대적 고리 수 $\operatorname{wind}_{\text{rel}}^\Phi((C;z), Y_{w_z}) = 0$ 이고, $u(S \setminus \Gamma)$의 상이 모든 임계점 $w$에 대한 섬유 $Y_w$와 교차하지 않을 때 성립한다.
• 이 증명은 코로나리 2.8에 기반하여, $\deg(\bar{v}) = 0$ 이고 $\tilde{u}$가 한 叶 $\tilde{Y}$와 교차할 경우, $\tilde{u}$가 반드시 $\tilde{Y}$에 완전히 포함되어야 한다고 보여주며, 否면 서로소 조건과 고리 수 조건 사이에 모순이 발생한다.
• 이 결과는 모든 정상 궤도의 법선 콘리-젠더 지수가 $\{-1, 0, 1\}$ 내에 있을 경우에 성립하며, 이는 고리 수 부등식 $\mp \alpha_N^{\Phi;\mp}(\gamma_z^{m_z}) \geq 0$ 이 성립하도록 보장한다.