[논문 리뷰] Holomorphic Principal Bundles Over Elliptic Curves III: Singular Curves and Fibrations

Robert Friedman, John W. Morgan|ArXiv.org|2001. 08. 15.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 14인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 복소수 주기적 G-_bundle에 대한 포물선 축소 방법을 매끄럽지 않은 곡선과 위어스트라스 입자족에 대해 확장하며, 기저 위의 가중 투영 공간 배럴로 상대 모듈리 공간을 구성한다. 카시미르 가중치의 출현에 대한 개념적 설명을 제공하고, 애드조인트 몰입의 콪팩티피케이션을 통한 코스타ント 및 스텐버그 섹션의 일반화를 한다.

ABSTRACT

Let G be a simple and simply connected complex linear algebraic group. In this paper, we discuss the generalization of the parabolic construction of holomorphic principal G-bundles over a smooth elliptic curve to the case of a singular curve of arithmetic genus one and to a fibration of Weierstrass cubics over a base B. Except for G of type E_8, the method gives a family of weighted projective spaces associated to a sum of line bundles over B. Working with the universal family of Weierstrass curves over affine two-space and its natural C^*-action, we determine the line bundles that arise in the direct sum in terms of the Casimir weights of the group. We show that in the case of a cuspidal or nodal curve C, provided that G is not of type E_8 or C is not cuspidal, the parabolic construction is closely related to constructions of Kostant and Steinberg of sections for the adjoint quotient morphism of the group G or its Lie algebra, and that moreover it gives a compactification of the adjoint quotient. We describe how the construction may be modified for E_8. Finally, given an irreducible representation of G, we characterize the G-bundles arising from the parabolic construction such that the associated vector bundle is unstable.

연구 동기 및 목표

• 매끄러운 타원 곡선에서 복소수 G-_bundle에 대한 포물선 축소 방법을 매끄럽지 않은 곡선과 타원 피브레이션으로 확장하는 것.
• 위어스트라스 입자족 피브레이션 위의 G-_bundle에 대한 상대 모듈리 공간을 구성하고, 이것이 기저 위의 가중 투영 공간 배럴임을 보이는 것.
• G의 지수 $m_i$에 대해 $d_i = m_i + 1$인 카시미르 가중치가 모듈리 구성에서 자연스럽게 나타나는 이유에 대한 개념적 설명을 제공하는 것.
• 노드와 쿠스피드 섬유에서 포물선 구성의 행동을 이해하고, 이를 애드조인트 몰입과 그 콱팩티피케이션과 연결하는 것.
• 매끄러운 곡선 위의 포물선 구성으로의 변형을 통해 애드조인트 몰입의 코스타ント 및 스텐버그 섹션을 일반화하는 것.

제안 방법

• 구조군을 $P$로 줄이는 데 사용되는 최대 포물선 부분군 $P \subset G$를 사용하며, 여기서 $U$는 유니포텐트 루트이고 $L$은 레비 인자이다.
• $H^1(E; U(\eta_0))$를 통한 $P$-_bundle의 구성에서, $\eta_0$는 $\mathcal{O}_E(-p_0)$의 결정식을 가진 표준적 $L$-bundle이다.
• 코homology를 선형화하기 위해 $H^1(E; \mathfrak{u}(\eta_0))$를 연구하며, 이는 음의 차수를 가진 반안정 벡터 번들의 분해로 이루어진다.
• $H^1(E; U(\eta_0))$가 가중치 $g_i$를 가진 $\mathbb{C}^*$-작용을 지니며, 이에 의해 얻어진 몫이 가중 투영 공간이 된다는 것을 보이는 것.
• 직접 이미지 $\mathcal{L} = R^0\pi_*\omega_{Z/B}$를 분석함으로써, 매끄럽지 않은 섬유와 위어스트라스 입자족 $\pi: Z \to B$로의 구성 확장을 다루는 것.
• $\mathcal{O}_B \oplus \mathcal{L}^{-d_1} \oplus \cdots \oplus \mathcal{L}^{-d_r}$에 관련된 상대 모듈리 공간을 가중 투영 공간 배럴로 구성하는 것. 여기서 $d_i = m_i + 1$은 카시미르 가중치이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 G-_bundle에 대한 포물선 축소 방법이 매끄럽지 않은 타원 곡선과 위어스트라스 피브레이션의 가중족에서 어떻게 행동하는가?
• RQ2 상대 모듈리 공간 구성에서 $d_i = m_i + 1$인 카시미르 가중치가 자연스럽게 나타나는 이유는 무엇인가?
• RQ3 스텐버그 및 코스타운트 섹션은 매끄러운 곡선 위의 포물선 구성의 극한으로 이해될 수 있는가?
• RQ4 모듈리 공간 내에서 불안정한 G-_bundle의 위치는 무엇이며, 더 작은 군으로부터의 포물선 유도와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 유니포텐트 번들의 코homology 위의 $\mathbb{C}^*$-작용이 가중 투영 공간의 구조를 어떻게 유도하는가?

주요 결과

• G가 $E_8$형이 아니면, 위어스트라스 입자족 피브레이션 위의 G-_bundle에 대한 상대 모듈리 공간은 기저 $B$ 위의 가중 투영 공간 배럴이다.
• 가중 투영 공간 배럴의 가중치는 $d_i = m_i + 1$인 카시미르 가중치이며, $\mathcal{L} = R^0\pi_*\omega_{Z/B}$는 휘어짐을 결정한다.
• G = $E_8$인 경우, 적절한 포물선 축소가 존재하지 않아 상대 모듈리 공간이 가중 투영 공간 배럴로 얻어지지 않는다.
• 최소표현에서 관련된 벡터 번들이 불안정한 G-_bundle의 집합은 포물선 유도에 의해 유도되는 유리 곡선이 된다.
• G = $Spin(10)$인 경우, 27차원 표현에서의 불안정한 국소는 $\mathbb{WP}(Spin(10))$ 내의 유리 곡선 $\Gamma$에 대응하며, $\mathbb{WP}(Spin(10)) \to \mathbb{WP}(G)$에 의한 상은 $\mathbb{WP}(G)$ 내의 유리 곡선이 된다.
• G = $E_7$인 경우, 불안정한 G-_bundle는 $\mathbb{WP}(E_6) \to \mathbb{WP}(E_7)$의 2:1 매핑 아래에서 유리 곡선 $\Gamma$의 상으로 나타나며, 모든 비자명 표현에서 불안정하다.