[논문 리뷰] Holomorphic submanifolds of some hypercomplex manifolds with Hermitian and Norden metrics

Galia Nakova, Hristo Manev|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 08.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 4인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 히퍼켈러 다양체와 국소적으로 동치인 히퍼켈러 다양체를 갖는 히퍼복소 다양체 내의 해석적 부분다양체를 연구하며, 허미션 및 노르덴 계량을 갖춘다. 이들 부분다양체가 완전하게 볼록하거나 완전하게 기하학적일 조건을 필요로 하고 충분히 만족시키는 조건을 근거로 하며, 환경 다양체의 리 1형식을 사용한다. 또한 이러한 부분다양체의 구체적인 예를 구성한다.

ABSTRACT

In this paper we initiate the study of submanifolds of almost hypercomplex manifolds with Hermitian and Norden metrics. Object of investigations are holomorphic submanifolds of the hypercomplex manifolds which are locally conformally equivalent to the hyper-Kähler manifolds of the considered type. Necessary and sufficient conditions the investigated holomorphic submanifolds to be totally umbilical or totally geodesic are obtained. Examples of the examined submanifolds are constructed.

연구 동기 및 목표

• 기본 히퍼복소 다양체에 대한 부분다양체 연구를 시작하기 위해.
• 이러한 유형의 히퍼켈러 다양체와 국소적으로 동치인 $ abla{ m W}$ 클래스에 속하는 다양체의 해석적 부분다양체를 특성화하기 위해.
• 해석적 부분다양체가 완전하게 볼록하거나 완전하게 기하학적일 조건을 필요로 하고 충분히 만족시키는 조건을 결정하기 위해.
• 이 기하학적 설정에서 해석적 부분다양체의 구체적인 예를 구성하기 위해.

제안 방법

• 히퍼켈러 다양체와 국소적으로 동치인 $ abla{ m W}$ 클래스에 속하는 환경 다양체 $(ar{M}, H, G)$ 내의 해석적 부분다양체 $M$을 분석한다.
• 중립 계량 $g$의 리베르트-시비타 접속 $ abla$를 사용하며, $eta = 1,2,3$에 대해 $F_eta(X,Y,Z) = g(( abla_X J_eta)Y, Z)$를 통해 기본 텐서 $F_eta$를 정의한다.
• 환경 다양체 $ar{M}$과 관련된 리 1형식 $ar{ heta}_eta$를 도입하며, 이는 부분다양체의 기하적 성질을 특성화하는 데 필수적이다.
• 곱 다양체의 구조 $Tar{M} = TM imes TM'$를 이용해 예를 구성하기 위해 접속장의 분해를 적용한다.
• 식 (3.5)와 (3.6)을 통해 환경 공간의 기본 텐서와 리 1형식 사이의 관계를 도출한다.
• curvature 및 구조 성질을 부분다양체 간에 연결하기 위해 $ar{F}_eta(ar{X},ar{Y},ar{Z}) = F_eta(X,Y,Z) + F_eta'(X',Y',Z')$ 조건을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해석적 부분다양체 $M$이 $ abla{ m W}$-다양체이거나 $ abla{ m K}$-다양체가 되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 $\bar{M}$이 $ abla{ m W}$-다양체인 경우, 해석적 부분다양체 $M$이 완전하게 볼록하거나 완전하게 기하학적이기 위한 리 1형식 $\bar{\theta}_\beta$의 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ3 해석적 부분다양체 $M$의 기하적 성질(예: 볼록성 또는 기하학성)은 환경 다양체 $\bar{M}$의 구조에 따라 어떻게 달라지며, 특히 $\bar{M}$이 $\nabla{\rm W}$에 속할 경우 어떻게 되는가?
• RQ4 $\nabla{\rm K}$-다양체의 해석적 부분다양체는 완전하게 기하학적일 수 있으며, 이러한 부분다양체는 무엇으로 특성화되는가?
• RQ5 이 기하학적 설정에서 해석적 부분다양체의 명시적 구성 방법은 무엇이며, 그들의 곡률 및 구조 텐서는 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 해석적 부분다양체 $M$이 $ abla{ m W}$-다양체이거나 $ abla{ m K}$-다양체일 수 있으며, 이는 정규다양체 위에서 리 1형식 $ar{ heta}_\beta$의 존재 여부에 따라 달라진다.
• 해석적 부분다양체 $M$이 $ abla{ m W}$-다양체인 경우, 리 1형식 $ar{\theta}_\beta$가 정규다양체 $TM^\bot$ 위에서 0이 아닐 때에만 완전하게 볼록하며, $ abla{ m K}$-다양체일 때는 $ abla{\rm K}$-다양체일 때에만 완전하게 기하학적이다.
• 모든 $ abla{ m K}$-다양체의 해석적 부분다양체는 완전하게 기하학적이며, $ abla{ m K}$-구조를 그대로 이어받는다.
• 모든 $ abla{ m K}$-하나의 해석적 부분다양체는 $ abla{ m W}$-다양체 내에서 완전하게 볼록하다.
• 곱 구조 $ar{M} = M imes M'$에서 $M$이 $ abla{ m K}$-다양체이고 $M'$이 $ abla{ m W}$-다양체일 경우, 부분다양체 $M$은 완전하게 볼록하고 $M'$은 완전하게 기하학적이다.
• 환경 다양체 $ar{M}$의 리 1형식 $ar{\theta}_\beta$는 $ abla{\rm W}$-다양체에서 $ abla{\rm K}$-다양체로의 전환을 결정하며, $ abla{\rm K}$-다양체의 기하학적 성질을 결정한다.