[논문 리뷰] Holonomy and monodromy groupoids

Ronald Brown, İlhan Içen외 1명|ArXiv.org|2001. 10. 05.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 리 군oids에 대한 호로니 및 단일화 군oids의 보편적이고 국소-전역적인 구성법을 제시하며, 고전적 미분형식 불변량을 일반화한다. 보편적 성질과 국소 적합 섹션을 이용하여, 단일화 군oids가 호로니 구성에 의해 리 구조를 가질 수 있음을 입증함으로써, 일반적으로 사용되는 몫 기반 접근법을 뒤집고 고차원 일반화를 가능하게 한다.

ABSTRACT

We outline the construction of the holonomy groupoid of a locally Lie groupoid and the monodromy groupoid of a Lie groupoid. These specialise to the well known holonomy and monodromy groupoids of a foliation, when the groupoid is just an equivalence relation.

연구 동기 및 목표

• 미분형식의 고전적 호로니 및 단일화 군oids를 국소적으로 리 군oids의 더 넓은 맥락으로 일반화하기.
• 셰바레의 단일화 원리에 영감을 받아, 단일화 군oids를 통해 국소 사상의 전역 사상으로의 연장에 대한 보편 원칙을 수립하기.
• 호로니 군oids 구성이 단일화 군oids에 리 구조를 부여하는 데 핵심적이라는 점을 보여주며, 그 반대의 경우가 아님을 입증하기.
• 국소적으로 리 군oids가 미분기하학과 리 이론에서 국소 기하학적 구조를 표현하는 데 유용한 프레임워크가 될 수 있는지 탐색하기.
• n중 군oids와 분할에 대한 대체 대체 원소를 이용한 호로니 및 단일화의 고차원 일반화 프로그램을 시작하기.

제안 방법

• G를 항등원을 포함하는 부분집합 W를 갖는 군oids로 정의하며, G의 연산이 W에서 가능한 한 매끄럽게 되도록 다각형 구조를 부여한다.
• G의 오버군oids로 호로니 군oids Hol(G, W)를 구성하며, W가 열린 부분공간이 되고 보편 성질을 통해 리 구조가 전역적으로 확장된다.
• 국소 적합 섹션—객체 공간의 열린 부분집합에서 정의된 소스 사상의 매끄러운 섹션으로, 이미지가 W에 있고 타겟 사상에 의해 미분동형으로 전이되는 것—을 이용해 국소 절차를 정의한다.
• 이러한 국소 섹션에 의한 왼쪽 곱셈을 적용하여 열린성과 매끄러움을 유지함으로써, 위상군에서의 왼쪽 곱셈 개념을 군oids로 일반화한다.
• 단일화 군oids M(G)를 항등원에서의 별들의 보편 덮개로 정의하며, 국소 사상에 대한 보편 끌림 성질을 갖는다.
• 호로니 구성이 비자명한 호로니의 경우에도 M(G)에 필요한 위상을 제공하여 리 군oids로 만들 수 있음을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 미분형식의 호로니 및 단일화 군oids를 동치관계를 넘어서 임의의 국소적으로 리 군oids로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 국소 적합 섹션은 단일화 군oids에 리 구조를 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 단일화 군oids는 국소 사상의 연장 도메인으로서 보편적으로 특징지어질 수 있으며, 이는 고전적 단일화 원리와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 국소적으로 리 군oids와 리 대수다원 사이의 관계는 무엇이며, 국소 기하 데이터를 표현하는 데 얼마나 유용한가?
• RQ5 n중 군oids와 분할에 대한 대체 대체 원소를 이용한 호로니 및 단일화의 고차원 일반화 가능성은 무엇인가?

주요 결과

• 비자명한 호로니가 존재하는 경우에도, 리 군oids G의 단일화 군oids M(G)는 호로니 구성에 의해 리 군oids 구조를 지닐 수 있다.
• 호로니 군oids Hol(G, W)는 G의 오버군oids로 구성되며, W는 열린 부분공간이 되고 국소 사상의 전역 연장에 대한 보편 도메인으로 기능한다.
• M(G)에 대한 리 구조의 구성은 보편적으로 호로니 군oids에 의존하며, 일반적으로 사용되는 몫 기반 접근법과는 반대로, 호로니가 단일화 군oids로부터 유도되는 것이 아니라 반대의 방향임을 입증한다.
• 국소 적합 섹션은 군oids 연산에서 매끄러움과 열린성을 유지하는 데 필수적이며, 위상군에서의 왼쪽 곱셈의 역할을 일반화한다.
• M(G)의 보편 끌림 성질은 G에서 정의된 임의의 국소 사상이 M(G)에서 유일하게 전역 사상으로 연장됨을 보장하며, 일반화된 단일화 원리를 실현한다.
• 이 틀은 n중 군oids와 분할에 대한 대체 대체 원소를 이용한 고차원 일반화로 자연스럽게 이어질 수 있으며, 비아벨 호모토피 이론과 주 접속의 곡률과의 연결 가능성을 시사한다.