[논문 리뷰] Holonomy perturbations in a cylinder, and regularity for traceless SU(2) character varieties of tangles

Christopher M. Herald, Paul Kirk|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 01.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 20인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 호모로지 3차원 구면에서의 끈끈이(tangle)에 대해 스칼라가 0인 SU(2) 특징 다양체의 정칙성과 심플렉틱 구조를 힐로노미 변형을 통해 확립한다. 실린더 내 곡선을 따라 힐로노미 변형을 구성함으로써 골드먼의 해밀토니안 비틀림 흐름을 유도하고, 변형된 특징 다양체가 차원 $2n-3$의 매끄러운 최상위 층과 유한한 특이 층을 가지는 계층적 다양체임을 증명한다. 또한 경계 2차원 구면으로의 제약 사상이 고리수의 특징 다양체의 심플렉틱 축소에 대한 라그랑주 임베딩을 유도하며, 이는 플로어 이론적 끈끈이 불변량을 향한 핵심 단계이다.

ABSTRACT

The traceless $SU(2)$ character variety $R(S^2,\{a_i,b_i\}_{i=1}^n)$ of a $2n$-punctured 2-sphere is the symplectic reduction of a Hamiltonian $n$-torus action on the $SU(2)$ character variety of a closed surface of genus $n$. It is stratified with a finite singular stratum and a top smooth symplectic stratum of dimension $4n-6$. For generic holonomy perturbations $π$, the traceless $SU(2)$ character variety $R_π(Y,L)$ of an $n$-stranded tangle $L$ in a homology 3-ball $Y$ is stratified with a finite singular stratum and top stratum a smooth manifold. The restriction to $R(S^2, 2n)$ is a Lagrangian immersion which preserves the cone neighborhood structure near the singular stratum. For generic holonomy perturbations $π$, the variant $R_π^ atural(Y,L)$, obtained by taking the connected sum of $L$ with a Hopf link and considering $SO(3)$ representations with $w_2$ supported near the extra component, is a smooth compact manifold without boundary of dimension $2n-3$, which Lagrangian immerses into the smooth stratum of $R(S^2,\{a_i,b_i\}_{i=1}^n)$. The proofs of these assertions consist of stratified transversality arguments to eliminate non-generic strata in the character variety and to insure that the restriction map to the boundary character variety is also generic. The main tool introduced to establish abundance of holonomy perturbations is the use of holonomy perturbations along curves $C$ in a cylinder $F imes I$, where $F$ is a closed surface. When $C$ is obtained by pushing an embedded curve on $F$ into the cylinder, we prove that the corresponding holonomy perturbation induces one of Goldman's generalized Hamiltonian twist flows on the $SU(2)$ character variety $\mathcal{M}(F)$ associated to the curve $C$.

연구 동기 및 목표

• 호모로지 3차원 구면 내 $n$-끈끈이에 대해 힐로노미 변형을 사용하여 스칼라가 0인 SU(2) 특징 다양체의 정칙성을 확립하는 것.
• 변형된 특징 다양체 $R_{ ilde{ u}}(Y,L)$ 가 차원 $2n-3$의 매끄러운 최상위 층과 유한한 특이 층을 가지는 계층적 다양체임을 보이는 것.
• 경계 2차원 구면으로의 제약 사상이 고리수의 특징 다양체의 심플렉틱 축소로의 라그랑주 임베딩을 유도함을 증명하는 것.
• 특징 다양체의 경계 최상위 층에 라그랑주 임베딩이 되는 스무스 컴act 다양체인 변형 $R_{ ilde{ u}}^{ atural}(Y,L)$ 를 정의하는 것.
• 라그랑주-플로어 homology 를 통해 잘 정의된 끈끈이 불변량을 구축하는 기초를 마련하며, 이는 콘드라마르-드로우카의 $I^{ atural}$ 과 추측적으로 동형임을 시사한다.

제안 방법

• 실린더 $F \times I$ 내의 임bedded 곡선 $C$ 를 따라 힐로노미 변형을 사용하여 초전도체 기능을 변형하고 특징 다양체 내 비일반적인 층을 제거하는 것.
• 그러한 힐로노미 변형이 폐쇄된 표면 $F$ 의 $SU(2)$ 특징 다양체 $\mathcal{M}(F)$ 상에서 골드먼의 일반화된 해밀토니안 비틀림 흐름을 유도함을 증명하는 것.
• 계층적 일반성(transversality) 논증을 적용하여 $R_{ ilde{ u}}(Y,L)$ 에서 $R(S^2, \{a_i,b_i\})$ 로의 제약 사상이 일반적이고 일반성 있게 전개됨을 보장하는 것.
• 특징 다양체의 $w_2$-지지 $SO(3)$ 표현과 스무스성을 확보하기 위해 히프 링크와의 연결합을 취하여 변형 $R_{ ilde{ u}}^{ atural}(Y,L)$ 를 구성하는 것.
• 힐로노미 변형의 풍부함을 활용하여 심플렉틱 몫으로의 라그랑주 임베딩이 잘 정의되고 소규모 변형에 대해 안정됨을 보이는 것.
• 표면의 특징 다양체의 심플렉틱 축소 구조가 해밀토니안 $n$-토러스 작용에 의한 $\mathcal{M}(F)$ 의 몫임을 활용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 힐로노미 변형을 사용하여 호모로지 3차원 구면 내 끈끈이의 스칼라가 0인 SU(2) 특징 다양체를 정규화할 수 있는가?
• RQ2 변형된 특징 다양체의 경계 2차원 구면으로의 제약 사상이 표면 특징 다양체의 심플렉틱 축소로의 라그랑주 임베딩을 유도하는가?
• RQ3 변형 $R_{ ilde{ u}}^{ atural}(Y,L)$ 는 차원 $2n-3$ 의 스무스 컴팩트 다양체인가?
• RQ4 라그랑주-플로어 호몰로지 $FH(R_{\pi}^{\natural}(Y_1,L_1), R_{\pi}(Y_2,L_2))$ 는 끈끈이 $(Y,L)$ 의 잘 정의된 불변량인가?
• RQ5 이 라그랑주-플로어 호몰로지와 콘드라마르-드로우카의 $I^{ atural}(Y,L)$ 사이에 추측적인 동형사상이 존재하는가?

주요 결과

• 일반적인 힐로노미 변형 $\pi$ 에 대해 특징 다양체 $R_{\pi}(Y,L)$ 는 차원 $2n-3$ 의 매끄러운 최상위 층과 유한한 특이 층을 가지는 계층적 다양체이다.
• 특이 층의 각 점은 $\mathbb{C}P^{n-2}$ 위의 콘 구조를 가진 이웃을 가지며, 이는 복소 프로젝티브 유형의 고립 특이점을 나타낸다.
• 제약 사상 $R_{\pi}(Y,L) \to R(S^2, \{a_i,b_i\})$ 는 매끄러운 최상위 층을 심플렉틱 $4n-6$ 차원 다양체 $R(S^2, \{a_i,b_i\})^{\mathbb{Z}/2}$ 로의 라그랑주 임베딩으로 유도한다.
• 변형 $R_{\pi}^{\natural}(Y,L)$ 는 차원 $2n-3$ 의 스무스 컴팩트 다양체이며, 경계 특징 다양체의 최상위 층으로의 라그랑주 임베딩이 된다.
• 전형적일 경우 $R_{\pi}^{\natural}(Y_1,L_1)$ 과 $R_{\pi}(Y_2,L_2)$ 의 교차는 변형된 초전도체 함수의 임계 집합과 정확히 일치하며, 이는 $R_{\pi}^{\natural}(Y,L)$ 로 식별된다.
• 논문은 라그랑주-플로어 호몰로지 $FH(R_{\pi}^{\natural}(Y_1,L_1), R_{\pi}(Y_2,L_2))$ 가 잘 정의된 끈끈이 불변량임을 강력한 증거로 제시하며, 이는 추측적으로 $I^\natural(Y,L)$ 와 동형임을 시사한다.