[논문 리뷰] Hom-algebras and homology

Donald Yau|ArXiv.org|2007. 12. 20.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 19인용 수 223

한 줄 요약

이 논문은 대수적 자기형사(map)를 통해 고전적인 결합 및 리 대수로부터 Hom-대수를 체계적으로 변형하는 방법을 제안하고, 비자명한 계수를 가진 Hom-리 대수에 대해 체바일리-일렌버그 유형의 호모로지 이론을 수립한다. 주요 기여는 스위칭 사상이 항등사상일 경우 표준 리 대수 호모로지로 복원되는 체인 복합체를 제공함으로써 고전적 호모로지 대수학을 Hom-대수 설정으로 일반화하는 것이다.

ABSTRACT

Classes of $G$-Hom-associative algebras are constructed as deformations of $G$-associative algebras along algebra endomorphisms. As special cases, we obtain Hom-associative and Hom-Lie algebras as deformations of associative and Lie algebras, respectively, along algebra endomorphisms. Chevalley-Eilenberg type homology for Hom-Lie algebras are also constructed.

연구 동기 및 목표

• G-Hom-결합 대수의 일반적 구성법을 제시하여 G-결합 대수의 자기형사에 沿한 변형으로서 제공한다.
• Hom-결합 대수 및 Hom-리 대수가 자기형사에 의한 변형을 통해 결합 대수 및 리 대수에서 자연스럽게 유도됨을 보여준다.
• 비자명한 계수를 가진 Hom-리 대수에 대해 체바일리-일렌버그 복합체를 일반화한 호모로지 이론을 개발한다.
• 스위칭 사상이 항등사상일 경우 Hom-리 대수의 호모로지가 표준 체바일리-일렌버그 호모로지로 복원됨을 수립한다.

제안 방법

• α-변형 결합 조건으로 정의된 G-Hom-결합 대수를 Hom-결합 대수의 일반화로 도입한다.
• 대수적 자기형사 α에 의해 G-결합 대수 A를 G-Hom-결합 대수로 변형함으로써 새로운 곱 μ_α(a,b) = μ(α(a),α(b))를 구성한다.
• Hom-결합 대수 A에 대해 벡터 공간 L 위에 [x,y]_α = α([x,y])로 정의된 교환자 브라켓을 통해 Hom-리 대수의 구조를 정의한다. 이는 고전적인 리 대수 구성법을 일반화한다.
• 스위칭 사상 α와 브라켓을 포함하는 미분 d를 사용하여 Hom-리 대수 L과 Hom-L-모듈 M에 대해 체인 복합체 CE^α_*(L,M)를 구성한다.
• Hom-자코비 항등식과 모듈러 규칙에 기반하여 d² = 0임을 확인함으로써 복합체 CE^α_*(L,M)가 체인 복합체임을 증명한다.
• 이 복합체의 호모로지로 n번째 호모로지 H^α_n(L,M)을 정의하며, 0번째 호모로지는 H^α_0(L,M) = M / span_ℤ{mx | m ∈ M, x ∈ L}로 주어진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적인 결합 및 리 대수는 어떻게 대수적 자기형사에 의해 체계적으로 Hom-결합 및 Hom-리 대수로 변형될 수 있는가?
• RQ2 자기형사에 의한 결합 대수의 변형이 Hom-결합 대수를 유도하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 비자명한 계수를 가진 Hom-리 대수에 대해 체바일리-일렌버그 유형의 호모로지 이론을 구성할 수 있는가?
• RQ4 스위칭 사상 α가 항등사상일 경우 제안된 호모로지 이론이 고전적인 체바일리-일렌버그 호모로지로 축소되는가?
• RQ5 Hom-리 대수의 맥락에서 0번째 호모로지 모듈러의 대수적 해석은 무엇인가?

주요 결과

• G-결합 대수의 자기형사 α에 沿한 변형은 G-Hom-결합 대수를 유도하며, 이는 Hom-결합 및 Hom-리 대수의 구성법을 일반화한다.
• Hom-결합 대수로부터 교환자 브라켓 [x,y]_α = α([x,y])를 통해 Hom-리 대수가 유도되며, 이는 고전적인 리 대수 구성법을 확장한다.
• 스위칭 사상 α를 포함하는 미분을 사용하여 Hom-리 대수 L과 Hom-L-모듈 M에 대해 체바일리-일렌버그 유형의 체인 복합체 CE^α_*(L,M)를 구성한다.
• 복합체 CE^α_*(L,M)는 Hom-자코비 항등식과 모듈러 규칙에 기반하여 d² = 0임이 증명되어 체인 복합체임을 보장한다.
• 0번째 호모로지 모듈러는 H^α_0(L,M) = M / span_ℤ{mx | m ∈ M, x ∈ L}로 주어지며, 이는 리 대수의 아벨리제이션을 일반화한다.
• α = id일 경우 호모로지 H^α_n(L,M)는 기저 리 대수 L의 고전적 체바일리-일렌버그 호모로지와 일치한다.