[논문 리뷰] Hom-post-Lie modules, O-operators and some functors on Hom-algebras

Ibrahima Bakayoko|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 10.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Hom-post-Lie 모듈러스를 도입하고, Hom-post-Lie 대수 또는 모듈러스의 구조 지도에 의한 변형에 대해 그 닫힘성을 확립한다. $ ol$-연산자를 통해 모듈러스 위에 새로운 Hom-대수를 구성하며, Rota-Baxter 및 O-연산자 구성 방식을 Hom-대수적 환경으로 일반화하고, Hom-post-Lie 모듈러스의 직합과 텐서곱이 여전히 Hom-post-Lie 모듈러스임을 증명한다.

ABSTRACT

The aim of this paper is to study modules over Hom-post-Lie algebras and give some contructions and various twisting i.e. we show that modules over post-Hom-Lie algebras are close by twisting either Hom-post-Lie algebras or module structure maps. Given a type of Hom-algebra A, an A-bimodule M and an O-operator T : A ---> M, we give constructions another of Hom-algebra structure on M.

연구 동기 및 목표

• Hom-post-Lie 대수 위의 모듈러스를 정의하고 연구함으로써, 고전적 post-Lie 모듈러스 이론을 Hom-대수 환경으로 일반화한다.
• Hom-post-Lie 모듈러스 구조가 Hom-post-Lie 대수의 자동형사상 또는 모듈러스 구조 지도에 의한 변형에 의해 유지되는 조건을 밝힌다.
• Hom-결합 대수 위의 이중모듈러스와 관련된 $ ol$-연산자 $T: M o A$를 통해 모듈러스 위에 새로운 Hom-대수 구조를 구성한다.
• 기존의 Hom-preLie, Hom-dendriform, 그리고 Hom-L-dendriform 대수의 구성 방식을 Hom-결합 대수로부터 O-연산자를 통해 일반화한다.
• 고전적 O-연산자 및 Rota-Baxter 구성 방식을 비자명한 변형 지도를 가진 Hom-대수 환경으로 확장하며, 변형에 의해 대수적 항등식이 유지됨을 보인다.

제안 방법

• Hom-post-Lie 모듈러스를 Hom-post-Lie 대수 위의 이중모듈러스로 정의하며, 변형 지도 $ ol$에 의해 변형된 모듈러스 공리의 형태를 만족시킨다.
• O-연산자 조건 $T(x)ullet T(y) = T(l(T(x))y + r(T(y))x)$를 사용하여 Hom-결합 대수에서 모듈러스로 대수적 구조를 옮긴다.
• 아인슈타인 합성 기법을 적용하고, 왼쪽/오른쪽 곱셈 지도 $l$ 및 $r$을 정의하여 모듈러스 작용을 선형 연산자로 표현한다.
• Rota-Baxter 연산자 $R$가 무게 0인 경우, $x ullet y = R(x)ullet y - yullet R(x)$의 연산을 통해 Hom-결합 대수에서 Hom-preLie 대수를 구성한다.
• O-연산자 $T: V o A$를 사용하여 모듈러스 $V$ 위에 Hom-L-dendriform 대수의 구조를 $u riangleright v = l(T(u))v$ 및 $u riangleleft v = r(T(v))u$로 정의한다.
• 직합과 텐서곱에 대해 Hom-post-Lie 모듈러스의 닫힘성을 증명하기 위해, 변형된 모듈러스 공리가 유지됨을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Hom-post-Lie 대수 위의 모듈러스 개념은 어떻게 정의되며, 그 기본 성질은 무엇인가?
• RQ2 Hom-post-Lie 모듈러스 구조가 대수의 자동형사상 또는 모듈러스 구조 지도에 의한 변형을 받을 때 어떤 조건에서 유지되는가?
• RQ3 Hom-결합 대수 위의 O-연산자를 사용하여 그 기저 모듈러스 위에 새로운 Hom-대수 구조를 구성할 수 있는가?
• RQ4 O-연산자 구성에 의해 Hom-preLie 대수, Hom-dendriform 대수, 그리고 Hom-L-dendriform 대수 사이의 관계는 어떠한가?
• RQ5 비자명한 변형 지도를 가진 Hom-대수 환경에서 고전적 O-연산자 및 Rota-Baxter 구성 방식은 어떻게 확장되는가?

주요 결과

• Hom-post-Lie 모듈러스 구조는 Hom-post-Lie 대수의 자동형사상 또는 모듈러스 구조 지도에 의한 변형에 대해 닫혀 있으며, 모듈러스 공리가 유지된다.
• 두 Hom-post-Lie 모듈러스의 직합과 텐서곱은 자연스러운 Hom-post-Lie 모듈러스 구조를 상속한다.
• Hom-결합 대수 $(A,ullet, ol)$, $A$-이중모듈러스 $(M,l,r,eta)$, 그리고 $ ol$-연산자 $T: M o A$가 주어지면, $u riangleright v = l(T(u))v$ 및 $u riangleleft v = r(T(v))u$로 정의된 Hom-L-dendriform 대수의 구조가 $M$ 위에 정의된다.
• 무게 0인 Hom-결합 Rota-Baxter 대수에서, $x ullet y = R(x)ullet y - yullet R(x)$의 연산을 통해 $A$ 위에 Hom-preLie 대수의 구조를 구성할 수 있다.
• $ ol = ext{Id}$ 및 $eta = ext{Id}$일 때, 구성은 고전적 결과를 회복한다: O-연산자는 결합 대수와 이중모듈러스로부터 $V$ 위에 $L$-dendriform 대수를 제공한다.
• Hom-preLie 대수에서 O-연산자를 통해 Hom-dendriform 대수를 구성하는 것이 확립되었으며, 연산은 $u riangleleft v = l(T(u))v$ 및 $u riangleright v = -r(T(u))v$로 주어진다.