[논문 리뷰] Homeomorphism and diffeomorphism groups of non-compact manifolds with the Whitney topology

Тарас Банах, Kotaro Mine외 2명|arXiv (Cornell University)|2008. 02. 04.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 47인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 유클리드 위상에서 비콤팩트 다양체의 호메오모르피즘 및 디ffe오모르피즘 군의 위상적 구조를 조사한다. 컴팩트 지지 부분군이 국소적으로 수축 가능하고 $(l_2 \times \mathbb{R}^\infty)$-다양체와 위상동형임을 증명하며, 항등원 성분이 열린 정규부분군임을 통해 컴팩트 지지 군이 항등원 성분과 이산적인 매핑 클래스 군으로 위상적 인수분해됨을 도출한다.

ABSTRACT

For a non-compact n-manifold M let H(M) denote the group of homeomorphisms of M endowed with the Whitney topology and H_c(M) the subgroup of H(M) consisting of homeomorphisms with compact support. It is shown that the group H_c(M) is locally contractible and the identity component H_0(M) of H(M) is an open normal subgroup in H_c(M). This induces the topological factorization H_c(M) \approx H_0(M) imes \M_c(M) for the mapping class group \M_c(M) = H_c(M)/H_0(M) with the discrete topology. Furthermore, for any non-compact surface M, the pair (H(M), H_c(M)) is locally homeomorphic to (\square^w l_2,\cbox^w l_2) at the identity id_M of M. Thus the group H_c(M) is an (l_2 imes R^\infty)-manifold. We also study topological properties of the group D(M) of diffeomorphisms of a non-compact smooth n-manifold M endowed with the Whitney C^\infty-topology and the subgroup D_c(M) of D(M) consisting of all diffeomorphisms with compact support. It is shown that the pair (D(M),D_c(M)) is locally homeomorphic to (\square^w l_2, \cbox^w l_2) at the identity id_M of M. Hence the group D_c(M) is a topological (l_2 imes R^\infty)-manifold for any dimension n.

연구 동기 및 목표

• 비콤팩트 $\sigma$-콤팩트 $n$-다양체 위에서 유클리드 위상 하에 호메오모르피즘 및 디ffe오모르피즘 군의 국소 위상적 구조를 분석하기 위해.
• 콤팩트 지지 호메오모르피즘($\mathcal{H}_c(M)$) 및 디ffe오모르피즘($\mathcal{D}_c(M)$) 부분군이 국소적으로 수축 가능하고 다각형 유사한 구조를 갖는지 확인하기 위해.
• $\mathcal{H}_c(M)$ 및 $\mathcal{D}_c(M)$의 위상적 인수분해를 항등원 성분과 이산적인 매핑 클래스 군으로 수립하기 위해.
• $\mathcal{H}_c(M)$ 및 $\mathcal{D}_c(M)$가 항등원에서 $(\square^\omega l_2, \boxdot^\omega l_2)$ 쌍과 국소적으로 위상동형임을 증명하여, 이들이 $(l_2 \times \mathbb{R}^\infty)$-다양체임을 의미하기 위해.

제안 방법

• 열린 커버와 사상의 균일한 근접성에 의해 정의된 유클리드 위상에서 호메오모르피즘 및 디ffe오모르피즘 군에 대한 적용.
• 특히 $(\square^\omega l_2, \boxdot^\omega l_2)$ 쌍을 이용한 국소 위상 모델의 적용을 통해 항등원 근처의 국소 구조를 특성화하기 위해.
• LF-공간 및 프레셰 공간 이론의 활용, 특히 $\mathbb{R}^\infty$, $l_2$, $l_2 \times \mathbb{R}^\infty$ 가 위상다양체로 특성화됨을 이용하기 위해.
• 테오리움 6.9를 통한 번들 이론적 기법과 국소 섹션 구성 방법을 활용하여 국소 위상동형 성질을 확립하기 위해.
• 강한 위상이 적용된 변환군에 대해 5.5번 보조정리를 적용하고, 콤팩트 부분다양체의 증가 수열을 사용하기 위해.
• 항등원 성분 $\mathcal{H}_0(M)$ 및 $\mathcal{D}_0(M)$ 이 각각 $\mathcal{H}_c(M)$ 및 $\mathcal{D}_c(M)$ 의 열린 정규부분군임을 증명하여 위상적 인수분해를 가능하게 하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비콤팩트 $\sigma$-콤팩트 $n$-다양체 위에서 유클리드 위상 하에 컴팩트 지지 호메오모르피즘 군 $\mathcal{H}_c(M)$ 는 국소적으로 수축 가능한가?
• RQ2 쌍 $(\mathcal{H}(M), \mathcal{H}_c(M))$ 는 항등원에서 $(\square^\omega l_2, \boxdot^\omega l_2)$ 와 국소적으로 위상동형인가?
• RQ3 비콤팩트 미분가능한 $n$-다양체 위에서 컴팩트 지지 디ffe오모르피즘 군 $\mathcal{D}_c(M)$ 는 유클리드 $C^\infty$-위상 하에 위상적 $(l_2 \times \mathbb{R}^\infty)$-다양체인가?
• RQ4 $\mathcal{H}_c(M)$ 는 $\mathcal{H}_0(M) \times \mathcal{M}_c(M)$ 와 위상적으로 인수분해될 수 있으며, 이 때 $\mathcal{M}_c(M)$ 이 이산적인가?
• RQ5 $\mathcal{D}(M)$ 과 $\mathcal{D}_c(M)$ 의 국소 구조는 $\mathcal{H}(M)$ 과 $\mathcal{H}_c(M)$ 와 동일한가, 즉 국소적으로 $(\square^\omega l_2, \boxdot^\omega l_2)$ 와 위상동형인가?

주요 결과

• 비콤팩트 $\sigma$-콤팩트 $n$-다양체 위에서 컴팩트 지지 호메오모르피즘 군 $\mathcal{H}_c(M)$ 는 유클리드 위상 하에 국소적으로 수축 가능하다.
• 항등원 성분 $\mathcal{H}_0(M)$ 는 $\mathcal{H}_c(M)$ 의 열린 정규부분군이며, 이에 따라 위상적 인수분해 $\mathcal{H}_c(M) \approx \mathcal{H}_0(M) \times \mathcal{M}_c(M)$ 가 성립하며, $\mathcal{M}_c(M)$ 는 이산적이다.
• 모든 비콤팩트 표면 $M$ 에 대해 쌍 $(\mathcal{H}(M), \mathcal{H}_c(M))$ 는 항등원에서 $(\square^\omega l_2, \boxdot^\omega l_2)$ 와 국소적으로 위상동형이며, 이에 따라 $\mathcal{H}_c(M)$ 는 $(l_2 \times \mathbb{R}^\infty)$-다양체이다.
• 비콤팩트 미분가능한 $n$-다양체 위에서 컴팩트 지지 디ffe오모르피즘 군 $\mathcal{D}_c(M)$ 는 항등원에서 $(\square^\omega l_2, \boxdot^\omega l_2)$ 와 국소적으로 위상동형이며, 이에 따라 위상적 $(l_2 \times \mathbb{R}^\infty)$-다양체이다.
• 항등원 성분 $\mathcal{D}_0(M)$ 는 $\mathcal{D}_c(M)$ 의 열린 정규부분군이며, $\mathcal{D}_c(M) \approx \mathcal{D}_0(M) \times \mathcal{M}_c^\infty(M)$ 가 성립하며, $\mathcal{M}_c^\infty(M)$ 는 이산적이다.
• $\mathcal{H}_c(M)$ 와 $\mathcal{D}_c(M)$ 의 국소 구조는 모두 쌍 $(\square^\omega l_2, \boxdot^\omega l_2)$ 를 모델로 하여, 이들이 무한차원 다양체 구조를 갖는다는 것을 확인한다.