[논문 리뷰] Homeomorphisms, homotopy equivalences and chain complexes

Spiros Adams-Florou|arXiv (Cornell University)|2012. 05. 14.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 29인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한차원이고 국소적으로 유한한 단체 복합체 사이의 호모토피 동치가 홈오모르피즘으로 호모토피 가능할 조건을 제어되고 유계된 위상수학을 사용하여 정확한 대수적이고 위상적인 기준으로 설정한다. 핵심 결과는 PL Poincaré 이중성 공간이 호모로지 다양체일 조건은 그 공간과 $\mathbb{R}$의 곱이 그 공간의 열린 콘 위에서 유계 Poincaré 이중성을 갖는 것과 동치임을 보여주며, 이는 대수적 분할과 제어된 체인 복합체를 통해 호모토피 이론과 기하 위상수학을 연결한다.

ABSTRACT

This thesis concerns the relationship between bounded and controlled topology and how these can be used to recognise which homotopy equivalences of reasonable topological spaces are homotopic to homeomorphisms. Let $f:X o Y$ be a simplicial map of finite-dimensional locally finite simplicial complexes. We prove that $f$ has contractible point inverses if and only if it is an $ε$-controlled homotopy equivalences for all $ε>0$, if and only if $f imes\mathrm{id}:X imes\mathbb{R} o Y imes\mathbb{R}$ is a homotopy equivalence bounded over the open cone $O(Y^+)$ of Pedersen and Weibel. This approach can be generalised to algebra using geometric categories: the $X$-controlled categories $\mathbb{A}^*(X)$, $\mathbb{A}_*(X)$ of Ranicki and Weiss together with the bounded categories $\mathcal{C}_M(\mathbb{A})$ of Pedersen and Weibel. Analogous to the barycentric subdivision of a simplicial complex, we define the algebraic subdivision of a chain complex over that simplicial complex. The main theorem of the thesis is that a chain complex $C$ is chain contractible in $\mathbb{A}(X)$ if and only if $ extit{"}C\otimes\mathbb{Z} extit{"}\in\mathbb{A}(X imes\mathbb{R})$ is boundedly chain contractible when measured in $O(X^+)$ for a functor $ extit{"}-\otimes\mathbb{Z} extit{"}$ defined appropriately using algebraic subdivision and for $\mathbb{A}=\mathbb{A}^*$ or $\mathbb{A}_*$. We prove a squeezing result: a chain complex with a small enough chain contraction has arbitrarily small chain contractions. We conclude with consequences for Poincaré Duality spaces. Squeezing tells us that a $PL$ Poincaré duality space with small enough Poincaré duality is a homology manifold and the main theorem tells us that a $PL$ Poincaré duality space $X$ is a homology manifold if and only if $X imes\mathbb{R}$ has bounded Poincaré duality when measured in the open cone $O(X^+)$.

연구 동기 및 목표

• 유한차원이고 국소적으로 유한한 단체 복합체 사이의 호모토피 동치가 홈오모르피즘으로 호모토피 가능할 조건을 규명하기 위해.
• 단체 사상의 수축 가능한 점의 역상과 열린 콘 위에서의 유계 호모토피 동치 사이의 대응 관계를 설정하기 위해.
• X-제어되고 유계된 범주를 사용하여 제어되고 유계된 위상수학을 대수적 환경으로 일반화하기 위해.
• Poincaré 이중성 공간의 호모토피 유형 내에서 호모로지 다양체를 식별하기 위해 결과를 적용하기 위해.
• 유계성을 유지하면서 체인 수축을 임의로 작은 크기로 압축할 수 있도록 해주는, 대수적 바리센트리 분할 함자를 개발하기 위해.

제안 방법

• 수축 가능한 점의 역상과 열린 콘 $O(Y^+)$ 위에서의 유계 호모토피 동치 사이의 관계를 설정하기 위해 기본적인 $\epsilon$-하나의 세분화 $X'_{\epsilon}$를 도입한다.
• Ranicki와 Weiss의 $X$-제어 범주 $\mathbb{A}^*(X)$와 $\mathbb{A}_*(X)$, 그리고 Pedersen와 Weibel의 유계 범주 $\mathcal{C}_M(\mathbb{A})$를 사용한다.
• 단체 복합체 위의 체인 복합체에 대해 위상수학적 바리센트리 분할을 일반화하는 대수적 바리센트리 분할 함수를 정의한다.
• 압축 결과를 적용한다: 충분히 작은 체인 수축을 갖는 체인 복합체는 임의로 작은 체인 수축을 갖는다.
• 대수적 분할을 사용하여 $X$ 위의 체인 복합체와 $X \times \mathbb{R}$ 위의 체인 복합체 사이의 관계를 설정하기 위해 함자 $"-\otimes\mathbb{Z}"$를 구성한다.
• 분해 정리를 적용하여 $X \times \mathbb{R}$ 위에서의 유계 체인 동치를 $X$ 위에서의 $\epsilon$-제어 동치로 분해한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수축 가능한 점의 역상을 갖는 단체 사상 $f$는 언제 홈오모르피즘으로 호모토피 가능한가?
• RQ2 제어되고 유계된 위상수학을 사용하여, 호모토피 동치가 홈오모르피즘인지 감지하는 방법은 무엇인가?
• RQ3 단체 복합체 위의 체인 복합체에 대한 바리센트리 분할의 대수적 유사체는 무엇인가?
• RQ4 열린 콘에서 $X \times \mathbb{R}$ 위에서의 유계 Poincaré 이중성이 $X$가 호모로지 다양체인지 감지하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 대수적 분할은 어떻게 체인 수축을 임의의 작은 범위로 압축하는가?

주요 결과

• 단체 사상 $f: X \to Y$가 수축 가능한 점의 역상을 갖는다. $\Longleftrightarrow$ $f \times \mathrm{id}: X \times \mathbb{R} \to Y \times \mathbb{R}$ 는 열린 콘 $O(Y^+)$ 위에서 유계 호모토피 동치이다.
• 체인 복합체 $C$가 $\mathbb{A}^*(X)$ 또는 $\mathbb{A}_*(X)$ 내에서 체인 수축 가능하다. $\Longleftrightarrow$ 대수적 분할 함수를 통해 $C \otimes \mathbb{Z}$ 가 $O(X^+)$ 내에서 유계 체인 수축 가능하다.
• 압축 정리에 의해, 충분히 작은 체인 수축을 갖는 모든 체인 복합체는 임의로 작은 체인 수축을 갖는다. 이는 유계성에 대한 제어를 가능하게 한다.
• PL Poincaré 이중성 공간 $X$는 $X \times \mathbb{R}$ 가 $O(X^+)$에서 유계 Poincaré 이중성을 갖는다. $\Longleftrightarrow$ $X$는 호모로지 다양체이다.
• 주요 정리에 따르면, $X \times \mathbb{R}$ 가 $O(X^+)$에서 유계 Poincaré 이중성을 갖는다면, $X$는 모든 $\epsilon > 0$ 에 대해 $\epsilon$-제어 Poincaré 이중성을 갖는다.
• 대수적 바리센트리 분할 함수의 구성은 $X \times \mathbb{R}$ 에서의 유계성 성질을 $X$로 체계적으로 이전하는 데 기여한다.