[논문 리뷰] Homogeneous division polynomials for Weierstrass elliptic curves

Jinbi Jin|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 18.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 임의의 링 위의 모든 웨이어스트라스 타원곡선에서 n 배 곱하기를 정의하는 ℤ[a₁,a₂,a₃,a₄,a₆][x,y,z] 속의 동차 분할 다항식 αₙ, βₙ, γₙ를 구성한다. 이는 제3의 정리(Theorem of the Cube)를 사용하여 그 존재성과 보편성을 증명한다. 주요 기여는 바아지즈가 제시한 ℂ 위에서의 Y₁(n)에 대한 고전적 방정식이 실제로 ℤ[1/n] 위에서 Y₁(n)을 정의한다는 것을 보여주는 것이다.

ABSTRACT

Starting from the classical division polynomials we construct homogeneous polynomials $α_n$, $β_n$, $γ_n$ such that for $P = (x:y:z)$ on an elliptic curve in Weierstrass form over an arbitrary ring we have $nP = \bigl(α_n(P):β_n(P):γ_n(P)\bigr)$. To show that $α_n,β_n,γ_n$ indeed have this property we use the a priori existence of such polynomials, which we deduce from the Theorem of the Cube. We then use this result to show that the equations defining the modular curve $Y_1(n)_{\mathbb C}$ computed for example by Baaziz, in fact are equations of $Y_1(n)$ over $\mathbb Z[1/n]$.

연구 동기 및 목표

• 임의의 링 위의 모든 웨이어스트라스 타원곡선과 모든 점 P = (x:y:z)에 대해 nP = (αₙ(P) : βₙ(P) : γₙ(P))를 만족하는 동차 다항식 αₙ, βₙ, γₙ를 구성하는 것.
• 기존의 분할 다항식이 z=1인 아핀 점에서만 정의된다는 한계를 극복하기 위해, 동차이고 사영적인 표현 방식을 제공하는 것.
• 바아지즈가 제시한 ℂ 위에서의 Y₁(n)에 대한 고전적 방정식이 실제로 ℤ[1/n] 위에서 Y₁(n)을 정의한다는 것을 증명하는 것, 즉 ℂ 위에서만 성립하는 것이 아니라 ℤ[1/n] 위에서도 성립함을 보여주는 것.
• 이러한 동차 다항식을 통해 ℤ[1/n] 위의 보편적이고 매끄러운 웨이어스트라스 곡선이 보편적인 n-torsion 점을 가지는 표준 모델을 가짐을 확립하는 것.
• 동차 다항식 αₙ, βₙ, γₙ가 부호를 제외하고 유일하게 결정되며, 각각 차수 n²를 가지며 고전적인 아핀 경우를 일반화한다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 기존의 분할 다항식 ΦₙΨₙ, Ωₙ, Ψₙ³의 동차화를 통해 αₙ, βₙ, γₙ를 구성하고, 웨이어스트라스 방정식에 따라 모듈로 처리하여 차수 n²과 동차성을 확보한다.
• 임의의 링 위의 매끄러운 웨이어스트라스 곡선에서 n 배 곱하기를 정의하는 이러한 동차 다항식의 존재를 보장하기 위해 제3의 정리를 사용한다.
• 문제를 보편적 매끄러운 웨이어스트라스 곡선으로 축소하고, 제3의 정리를 사용하여 다항식 αₙ, βₙ, γₙ가 보편 곡선에서 n 배 곱하기를 정의함을 보여준다.
• 기저 변경에 대해 다항식이 잘 정의되고 호환됨을 보여줌으로써, 매끄러운 곡선에서 일반 웨이어스트라스 곡선(특이점을 포함한 경우도 포함)으로 결과를 확장한다.
• 타이트 정규형을 사용하여 Z/nZ-임bedding을 가진 타원곡선의 모듈라이 문제에 적용하고, ℤ[1/n] 위에서의 표현 가능성을 보여준다.
• ψₙ와 이전의 fₙ를 이용해 ℤ[1/n][s,t] 속의 fₙ를 재귀적으로 정의하고, fₙ = 0과 δ ≠ 0(판별식 조건)을 함께 사용하면 ℤ[1/n] 위에서 Y₁(n)을 정의함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ℤ[a₁,a₂,a₃,a₄,a₆][x,y,z] 위에서 nP = (αₙ(P) : βₙ(P) : γₙ(P))를 만족하는 동차 다항식 αₙ, βₙ, γₙ를 구성할 수 있는가? 이는 임의의 링 위의 모든 웨이어스트라스 곡선과 모든 점 P = (x:y:z)에 대해 성립해야 한다.
• RQ2 제3의 정리를 사용하면 이러한 동차 분할 다항식의 존재성과 보편성에 대한 개념적 증명이 가능한가?
• RQ3 바아지즈가 제시한 ℂ 위에서의 Y₁(n)에 대한 고전적 방정식이 실제로 ℤ[1/n] 위에서 Y₁(n)을 정의하는가? 즉, ℂ 위에서만 성립하는 것이 아니라 ℤ[1/n] 위에서도 성립하는가?
• RQ4 fₙ의 영과 비영 판별식 조건을 통해 Z/nZ-임베딩을 가진 타원곡선의 모듈라이 공간 P(n)이 ℤ[1/n] 위에서 표현 가능한가?
• RQ5 타이트 정규형을 사용하여 보편적인 n-torsion 점이 ℤ[1/n][s,t,δ⁻¹] 위의 웨이어스트라스 곡선에서 (0:0:1)에 해당함을 보일 수 있는가?

주요 결과

• 동차 다항식 αₙ, βₙ, γₙ는 존재하며, 부호를 제외하고 유일하게 결정되며, 각각 차수 n²을 가지며, 임의의 링 위의 모든 웨이어스트라스 곡선과 모든 점 P = (x:y:z)에 대해 nP = (αₙ(P) : βₙ(P) : γₙ(P))를 만족한다.
• 제3의 정리는 이러한 다항식의 존재성을 보장하는 개념적 증명을 제공하며, 이는 보편적 매끄러운 웨이어스트라스 곡선에서 n 배 곱하기를 정의함을 보장한다.
• fₙ = 0과 δ ≠ 0을 함께 사용하면, 여기서 fₙ는 ψₙ = Ψₙ(1+s,t,t,0,0,0,0)로부터 재귀적으로 정의되며, 이는 ℤ[1/n] 위에서 Y₁(n)을 정의한다. 이는 ℂ 위에서만 성립하는 것이 아니라 ℤ[1/n] 위에서도 성립함을 의미한다.
• Z/nZ-임베딩을 가진 타원곡선의 모듈라이 문제 P(n)는 Spec ℤ[1/n][s,t,δ⁻¹,1/n]/(fₙ)에 의해 ℤ[1/n] 위에서 표현 가능하며, 보편 곡선은 y²z + (1+s)xyz + t yz² = x³ + t x² z 로 주어진다.
• 보편적인 n-torsion 점은 이 모델에서 (0:0:1)에 해당하며, 이 구성은 fₙ이 정확히 ℤ[1/n] 위의 n-torsion 점에서만 0이 됨을 확인한다.
• 이 구성은 바아지즈(2010)가 제시한 ℂ 위에서의 Y₁(n)에 대한 고전적 방정식이 실제로 ℤ[1/n] 위에서도 유효함을 보여주며, 이는 그들의 산술적 의미를 확장한다.