[논문 리뷰] Homogeneous Fedosov Star Products on Cotangent Bundles II: GNS Representations, the WKB Expansion, and Applications

Martin Bordemann, Nikolai Neumaier외 1명|ArXiv.org|1997. 11. 19.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 25인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 코타angent(bundle) 위의 동차 Fedosov 별곱에 대해 형식적 GNS 구성과 고정된 밀도에 대한 적분을 이용하여 GNS 표현을 구축하며, Weyl 순서를 가진 슈뢰딩거 유형의 표현을 도출한다. 이는 별곱의 강한 닫힘성(별곱교환자에 대한 심플렉틱 체적 적분이 0이 되는 것)을 증명하고, GNS를 통해 WKB 전개를 정식화하며, 시간 역전 사상의 고정점 집합이 라그랑주 부분다양체임을 증명한다.

ABSTRACT

This paper is part II of a series of papers on the deformation quantization on the cotangent bundle of an arbitrary manifold $Q$. For certain homogeneous star products of Weyl ordered type (which we have obtained from a Fedosov type procedure in part I, see q-alg/9707030) we construct differential operator representations via the formal GNS construction (see q-alg/9607019). The positive linear functional is integration over $Q$ with respect to some fixed density and is shown to yield a reasonable version of the Schrödinger representation where a Weyl ordering prescription is incorporated. Furthermore we discuss simple examples like free particle Hamiltonians (defined by a Riemannian metric on $Q$) and the implementation of certain diffeomorphisms of $Q$ to unitary transformations in the GNS (pre-)Hilbert space and of time reversal maps (involutive anti-symplectic diffeomorphisms of $T^*Q$) to anti-unitary transformations. We show that the fixed-point set of any involutive time reversal map is either empty or a Lagrangean submanifold. Moreover, we compare our approach to concepts using integral formulas of generalized Moyal-Weyl type. Furthermore we show that the usual WKB expansion with respect to a projectable Lagrangean submanifold can be formulated by a GNS construction. Finally we prove that any homogeneous star product on any cotangent bundle is strongly closed, i. e. the integral over $T^*Q$ w.r.t. the symplectic volume vanishes on star-commutators. An alternative Fedosov type deduction of the star product of standard ordered type using a deformation of the algebra of symmetric contravariant tensor fields is given.

연구 동기 및 목표

• 형식적 GNS 구성 방법을 사용하여 코타angent(bundle) 위의 동차 Fedosov 별곱에 대한 미분연산자 표현을 구축한다.
• 기저 다양체 위에서 고정된 밀도에 대한 적분을 통해 Weyl 순서를 가진 슈뢰딩거 표현을 실현한다.
• 미분형상과 시간 역전 사상이 GNS 힐버트 공간에서 유니터리 및 에르미트 수반 연산자로 어떻게 실현되는지 분석한다.
• 기저가 가능한 라그랑주 부분다양체에 대한 WKB 전개가 GNS 구성으로부터 체계적으로 유도될 수 있는지 확인한다.
• 모든 동차 별곱이 강하게 닫혀져 있음을 증명한다. 즉, 어떤 별곱교환자에 대해서도 심플렉틱 체적 적분이 0이 된다.

제안 방법

• 기저 다양체 Q 위에서의 적분을 양의 선형 함수로 사용하여, T*Q 위의 Weyl 순서형 동차 Fedosov 별곱에 대해 형식적 GNS 구성 적용.
• 이전 부분(I, q-alg/9707030)의 Fedosov 절차를 활용하여 별곱을 정의하며, 동차성과 Weyl 순서를 보장한다.
• 양의 함수를 통해 정의된 GNS 내적을 이용해 GNS 전힐버트 공간을 구성한다.
• Q의 미분형상은 GNS 공간 내에서 유니터리 연산자로, 시간 역전 사상(역대칭 심플렉틱 미분형상)은 반유니터리 연산자로 실현한다.
• 라그랑주 부분다양체를 순환 벡터와 연관지켜 GNS 프레임워크 내에서 WKB 전개를 정식화한다.
• 대칭 반대변량 텐서장의 변형을 통해 표준 순서 별곱의 별도의 Fedosov 유형 유도를 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 형식적 GNS 구성이 코타angent(bundle) 위의 동차 Fedosov 별곱에 대해 일관된 미분연산자 표현을 유도할 수 있는가?
• RQ2 기저 다양체 Q의 미분형상은 GNS 힐버트 공간에서 어떻게 유니터리 연산자로 작용하는가?
• RQ3 T*Q 위의 역대칭 시간 역전 사상의 고정점 집합은 기하학적으로 어떤 성질을 갖는가?
• RQ4 기저가 가능한 라그랑주 부분다양체에 대해 WKB 전개가 GNS 구성으로부터 체계적으로 도출될 수 있는가?
• RQ5 모든 동차 별곱이 코타angent(bundle) 위에서 강하게 닫혀져 있는가? 즉, 어떤 별곱교환자에 대해서도 심플렉틱 체적 적분이 0이 되는가?

주요 결과

• Q 위에서의 적분을 양의 선형 함수로 사용한 형식적 GNS 구성은 잘 정의된 GNS 전힐버트 공간을 유도하며, Weyl 순서를 가진 슈뢰딩거 표현을 실현한다.
• T*Q 위의 시간 역전 사상은 역대칭 심플렉틱 미분형상이므로, GNS 표현 내에서 반유니터리 연산자를 유도한다.
• 모든 이러한 시간 역전 사상의 고정점 집합은 공집합 또는 T*Q의 라그랑주 부분다양체이다.
• 기저가 가능한 라그랑주 부분다양체에 대한 WKB 전개는 그 부분다양체와 관련된 순환 벡터를 사용한 GNS 구성과 동치이다.
• 모든 코타angent(bundle) 위의 동차 별곱은 강하게 닫혀져 있다: 어떤 별곱교환자에 대해서도 심플렉틱 체적 적분이 0이 된다.
• 대칭 반대변량 텐서장의 변형을 통한 별도의 Fedosov 유형 구성으로 표준 순서 별곱을 유도할 수 있다.