[논문 리뷰] Homogenisation in finite elasticity for composites with a high contrast in the vicinity of rigid-body motion

Mikhail Cherdantsev, Kirill Cherednichenko외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 01. 01.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 경계 조건이 강체 운동을 강제하는 고강성 대비를 갖는 주기적인 이물질 복합재의 유한 변형률 균질화를 위한 다스케일 점근적 프레임워크를 개발한다. 강체 운동 근처에서 강성 상의 반응을 선형화하고 $\gamma$-수렴을 사용함으로써, 이중 척도 전개를 가진 한계 에너지 함수를 유도하며, $\lambda_\varepsilon \sim 1$일 때 연성 상의 기울기가 주어진 순서로 유지됨을 보여주며, 스케일링된 에너지 밀도의 준볼록Envelope로 균질화된 에너지가 결정됨을 밝힌다.

ABSTRACT

We present a multiscale asymptotic framework for the analysis of the macroscopic behaviour of periodic two-material composites with high contrast in a finite-strain setting. Our derivation starts with the geometrically nonlinear description of a composite consisting of a stiff material matrix and soft, periodically distributed inclusions, where the contrast between the components is coupled with the period $\varepsilon.$ We assume that the deformation field is a rigid-body motion on some part of the boundary of the composite, and consider various loading regimes, which are controlled by an additional parameter $\lambda_\varepsilon.$ We show that for particular regimes the elastic displacements are small throughout the material as $\varepsilon o0$ and that the deformation gradients in the stiff material are situated in the vicinity of the rigid-body motion specified by the boundary condition. This allows to replace, in the homogenisation limit, the nonlinear material law of the stiff component by its linearised version. The behaviour of the deformation gradients on the soft component depends on the asymptotics of $\lambda_\varepsilon.$ In particular, in the case $\lambda_\varepsilon\sim1$ they are shown to be of order one, and the related contribution to the homogenised energy is expressed via the quasiconvex envelope of the original stored-energy density defined on suitably rescaled gradient fields. As a main result we derive, in the spirit of $\Gamma$-convergence, a limit energy functional and establish a precise two-scale expansion for minimising sequences.

연구 동기 및 목표

• 유한 변형 하에서 고강성 대비를 갖는 주기적인 이상태 복합재의 거시적 기계적 거동을 모델링하기.
• 경계 조건으로 인해 강성 상이 강체 운동에 가까워질 때 변형률 행렬의 점근적 거동을 이해하기.
• 주기 $\varepsilon \to 0$의 극한에서 다양한 하중 조건을 제어하는 $\lambda_\varepsilon$에 따라 엄밀한 균질화된 에너지 함수를 유도하기.
• 강성 상의 비선형 재료 법칙이 균질화 근처에서 선형화될 수 있는 조건을 규명하여 비선형 재료 법칙의 단순화를 가능하게 하기.
• 특히 $\lambda_\varepsilon \sim 1$일 때 연성 상이 균질화된 에너지에 기여하는 방식을 특성화하기.

제안 방법

• 주기적인 미세구조와 $\varepsilon$로 스케일링된 강성 대비를 갖는 이물질 복합재의 기하학적으로 비선형 탄성 문제를 수립하기.
• 경계 일부에 강체 운동을 강제하는 경계 조건을 적용하여, 극한에서 강성 상의 변형률 행렬이 항등행렬 근처에 머무르도록 제약을 둔다.
• 외부 하중 크기와 변위의 점근적 스케일링을 제어하기 위해 로딩 파라미터 $\lambda_\varepsilon$를 도입하기.
• 강성 성분의 축적 에너지 함수를 강체 운동 근처에서 선형화하며, $\varepsilon \to 0$일 때 강성 상의 탄성 변위가 작다는 점에 기반하여 이를 정당화하기.
• 이중 척도 전개를 포함한 최소화 수열에 대해 $\Gamma$-수렴 기법을 적용하여 한계 에너지 함수를 도출하기.
• 연성 상의 균질화된 에너지를 스케일링된 에너지 밀도의 준볼록Envelope를 통해 표현하며, 기울기의 점근적 스케일링을 고려하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 균질화 근처에서 강성 상의 변형이 강체 운동에 가까워지는 조건은 무엇인가?
• RQ2 스케일링 파라미터 $\lambda_\varepsilon$는 연성 상의 변형률 행렬의 점근적 거동에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 균질화 근처에서 강성 상의 비선형 재료 법칙을 선형화된 형태로 대체할 수 있으며, 그 조건은 무엇인가?
• RQ4 특히 $\lambda_\varepsilon \sim 1$일 때 복합재의 한계 에너지 함수의 정확한 형태는 무엇인가?
• RQ5 고대비를 갖는 유한 변형률 균질화의 맥락에서 최소화 수열의 이중 척도 전개를 어떻게 엄밀히 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 특정 하중 조건을 제어하는 $\lambda_\varepsilon$ 하에서, 강성 상의 탄성 변위는 $\varepsilon \to 0$일 때 소멸하여 그 재료 법칙의 선형화가 정당화됨을 보여줌.
• 강성 상의 변형률 행렬은 강체 운동의 근처에 머물러 있어, 균질화 근처에서 선형화 근사의 타당성을 보장함.
• $\lambda_\varepsilon \sim 1$일 때, 연성 상의 기울기는 주어진 순서이며, 그 기여는 스케일링된 축적 에너지 밀도의 준볼록Envelope에 의해 기록됨.
• 최소화 수열에 대한 정확한 이중 척도 전개가 확립되어, 극한에서 거시적 및 미세구조적 변형장 간의 연결이 가능함.
• $\Gamma$-수렴을 통해 한계 에너지 함수가 도출되었으며, 고대비 복합재의 유한 변형률에 대한 엄밀한 점근적 모델을 제공함.
• 이 프레임워크는 균질화 근처에서 강성 상의 전체 비선형 반응을 선형화된 형태로 대체할 수 있게 하여 분석을 크게 단순화함.