[논문 리뷰] Homogenization and enhancement of the $G-$equation in random environments

Pierre Cardaliaguet, Panagiotis E. Souganidis|arXiv (Cornell University)|2011. 10. 08.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 24인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 발산이 없는 대류를 동반한 무작위, 정적, 에르고딕 환경에서 $G$-방정식의 균질화를 수립하며, 볼록하고 양의 동차성 함수를 가진 결정론적 비등방성 $G$-방정식으로의 수렴을 증명한다. 비균일 유계성과 균일 적분 가능성의 결여를 극복하기 위해 새로운 접근 가능도 추정과 점점 수렴하는 무작위 수열을 구성함으로써, 평균 전파 속도가 기본값을 초월하는 조건을 규명한다.

ABSTRACT

We study the homogenization of a $G$-equation which is advected by a divergence free stationary vector field in a general ergodic random environment. We prove that the averaged equation is an anisotropic deterministic G-equation and we give necessary and sufficient conditions in order to have enhancement. Since the problem is not assumed to be coercive it is not possible to have uniform bounds for the solutions. In addition, as we show, the associated minimal (first passage) time function does not satisfy, in general, the uniform integrability condition which is necessary to apply the sub-additive ergodic theorem. We overcome these obstacles by (i) establishing a new reachability (controllability) estimate for the minimal function and (ii) constructing, for each direction and almost surely, a random sequence which has both a long time averaged limit (due to the sub-additive ergodic theorem) and stays (in the same sense) asymptotically close to the minimal time.

연구 동기 및 목표

• 비강하성, 무작위, 정적, 에르고딕 환경에서 $G$-방정식의 균질화 문제를 오랫동안 미해결로 남아 있던 문제를 해결하기 위해.
• 평균 전파 속도를 지배하는 결정론적 효과 허밀토니안 $\overline{H}$의 존재를 확립하기 위해.
• 평균 전파 속도가 기본값보다 엄격히 큰 조건(즉, 향상이 발생하는 조건)을 규명하기 위해.
• 최소 시간 함수에서 균일 유계성의 부재와 균일 적분 가능성의 실패로 인해 기존의 하향적 에르고딕 이론이 적용되지 않는 문제를 해결하기 위해.
• 무작위 매체에서 비강하성 허밀토니안-자코비 방정식에 대한 새로운 방법론적 프레임워크를 개발하기 위해.

제안 방법

• 최소 시간 함수에 대한 새로운 접근 가능성(제어 가능성) 추정을 도입하여 균일 유계성의 부재를 회피하기 위해.
• 기존 확률 공간과 독립적인 무작위 수열을 구성하여 방향 $a$에서 최소 시간 함수의 점점 수렴하는 성질을 확보하기 위해.
• 구성된 수열에 하향적 에르고딕 정리를 적용하여 거의 확실한 장기 극한을 확립하기 위해.
• 스케일 조정된 최소 시간 함수의 극한이 거의 확실하게 존재하고, 시간 상수 $Z^a(\omega)$와 일치함을 증명하기 위해.
• 시간 상수가 존재함을 이용해 쌍대성과 볼록성 추론을 통해 효과 허밀토니안 $\overline{H}$를 유도하기 위해.
• 최소 시간 함수의 극한 $t^{-1}\theta(0,ta,\omega)$와 시간 상수의 등가성을 증명하여 2차원에서 거의 확실 수렴을 확보하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무작위, 발산이 없는 환경에서 $G$-방정식이 결정론적 $G$-방정식으로 어떻게 균질화되는가?
• RQ2 효과 전파 속도가 1보다 엄격히 큰 조건은 무엇인가? (즉, 향상가 발생하는가?)
• RQ3 방정식이 비강하성이고 최소 시간 함수가 균일 적분 가능성이 없을 경우 균질화는 어떻게 달성되는가?
• RQ4 일반적인 에르고딕 조건 하에서 2차원에서 최소 시간 함수에 대해 거의 확실하게 시간 상수를 정의할 수 있는가?
• RQ5 유동장이 전파 방향과 어떻게 상관관계를 가지는가가 향상 여부를 결정하는가?

주요 결과

• 최소 시간 함수의 해 $u^\varepsilon$는 $(x,t)$에서 국소 균일 수렴하고 $\omega$에서 거의 확실 수렴하여, 효과 허밀토니안 $\overline{H}$를 가진 결정론적 $G$-방정식의 해 $\overline{u}$로 수렴한다.
• 효과 허밀토니안 $\overline{H}$는 볼록하고, 일차 동차이며, 모든 $p \in \mathbb{R}^N$에 대해 $|\overline{H}(p)| \geq |p| + \langle \mathbb{E}[V], p \rangle$를 만족한다.
• 향상은 $V(y,\omega)$가 거의 확실하게 $p$에 수직이 아닐 때에만 발생하며, 이 경우 $\overline{H}(p) = |p| + \langle \mathbb{E}[V], p \rangle$이다.
• 2차원에서는 방향 $a$와 시간 상수가 일치함에 따라, 임의의 $a \in B$에 대해 $\lim_{t\to\infty} t^{-1}\theta(0,ta,\omega)$가 거의 확실하게 존재한다.
• 구성된 무작위 수열은 최소 시간 함수가 시간 상수와 점점 가까이 유지되도록 하여, 비균일 적분 가능성에도 불구하고 하향적 에르고딕 정리의 적용을 가능하게 한다.
• 증명은 2차원에서 $W^a \subset \mathbb{R}a$임을 보여주며, 이는 속도 벡터가 방향 $a$와 일치함을 의미하고, 거의 확실하게 $\lambda a \in W^a$이면서 $\lambda \geq 1$임을 보여준다.