[논문 리뷰] Homogenization and Non-Homogenization of certain Non-Convex Hamilton-Jacobi Equations

William M. Feldman, Panagiotis E. Souganidis|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 29.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 무작위 매질에서 비볼록 허밀토니안-자코비 방정식이 동질화되거나 동질화되지 않는 조건을 규명한다. 두 가지 유형으로 나뉜다: 엄격한 안장점을 가진 허밀토니안은 동질화되지 않으며, 균일하게 엄격하게 별형인 등고선 집합을 가진 허밀토니안은 동질화된다. 이는 유한 범위의 의존성을 가진 이전의 동질화 결과를 확장한다.

ABSTRACT

We continue the study of the homogenization of coercive non-convex Hamilton-Jacobi equations in random media identifying two general classes of Hamiltonians with very distinct behavior. For the first class there is no homogenization in a particular environment while for the second homogenization takes place in environments with finite range dependence. Motivated by the recent counter-example of Ziliotto, who constructed a coercive but non-convex Hamilton-Jacobi equation with stationary ergodic random potential field for which homogenization does not hold, we show that same happens for coercive Hamiltonians which have a strict saddle-point, a very local property. We also identify, based on the recent work of Armstrong and Cardaliaguet on the homogenization of positively homogeneous random Hamiltonians in environments with finite range dependence, a new general class Hamiltonians, namely equations with uniformly strictly star-shaped sub-level sets, which homogenize.

연구 동기 및 목표

• 강력한 비볼록 허밀토니안-자코비 방정식이 무작위 매질에서 동질화되는지 여부에 대한 오랜 미해결 문제를 해결하기 위해.
• 동질화가 발생하거나 실패하는지를 결정하는 허밀토니안의 구조적 조건을 규명하기 위해.
• 볼록성과 양의 동차성의 경우를 초월하여 더 넓은 비볼록 허밀토니안의 클래스로 동질화 이론을 확장하기 위해.
• 지역 기하학적 특성(예: 엄격한 안장점)이 동질화를 방해하는 역할을 분석하기 위해.
• 균일하게 엄격하게 별형인 등고선 집합을 가진 새로운 허밀토니안 클래스에 대해 동질화를 확립하고, 이전의 동차 허밀토니안 결과를 일반화하기 위해.

제안 방법

• 허밀토니안의 기울기 변수에서 엄격한 안장점을 정의한다. 이는 점 주변에서 함수가 하나의 직교 부분공간에서는 감소하고 다른 하나에서는 증가하는 조건을 통해 정의된다.
• 강력한 허밀토니안과 정적 에르고딕 무작위 잠재장(field)을 사용하여 반례를 구성함으로써, 해의 극한 하한과 상한에서의 진동 행동을 통해 비동질화를 보여준다.
• Armstrong와 Cardaliaguet(2016)의 양의 동차 허밀토니안에 대한 동질화 기법을 등고선 집합이 별형인 더 넓은 클래스로 일반화한다.
• 효과적 허밀토니안을 거리 문제를 통해 정의하고, 평면 거리 구조를 이용해 효과적 허밀토니안 수렴 속도에 대한 정량적 추정을 유도한다.
• 거의 덧셈성(Almost-additivity)을 확립하고, 이중 스케일링을 사용하여 수정자 문제의 수렴에 대한 모멘트 추정을 유도한다.
• 하나의 하위해를 검증하기 위해 가중 함수 $ Z(x,t) = \exp(-\lambda m^1(x)) + \exp(-\lambda t) $ 를 구성함으로써 동질화 극한을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비볼록 허밀토니안-자코비 방정식은 무작위 매질에서 동질화될 수 있는가? 그리고 이는 허밀토니안의 어떤 구조적 조건에 의해 결정되는가?
• RQ2 허밀토니안에 엄격한 안장점이 존재하면, 강력성 조건이 있더라도 여전히 동질화가 방해되는가?
• RQ3 양의 동차 허밀토니안에 대한 동질화 결과를 더 넓은 비볼록 허밀토니안 클래스로 확장할 수 있는가?
• RQ4 무작위 환경의 유한 범위 의존성 하에서, 허밀토니안의 등고선 집합의 어떤 기하학적 성질이 동질화를 보장하는가?
• RQ5 효과적 허밀토니안 $ \overline{H} $ 는 원래 허밀토니안 $ H $ 로부터 별형성과 정규성을 어떻게 상속하는가?

주요 결과

• 기울기 변수에서 엄격한 안장점 $ \xi_0 $ 를 가진 허밀토니안은 동질화되지 않는다: 선형 초기 조건 $ u_0(x) = \xi_0 \cdot x $ 에 대해 거의 확실히 $ \liminf_{\varepsilon \to 0} u^\varepsilon(0,t) < \limsup_{\varepsilon \to 0} u^\varepsilon(0,t) $ 이다.
• 이 비동질화 결과는 $ Dh(\xi_0) = 0 $ 이라는 조건 없이도 성립한다. 단, 허밀토니안이 시공간 정적이고 에르고딕하다면 성립한다.
• 균일하게 엄격하게 별형인 등고선 집합을 가진 허밀토니안의 경우, 무작위 환경의 유한 범위 의존성 하에서 동질화가 성립한다.
• 효과적 허밀토니안 $ \overline{H} $ 는 별형성을 상속한다: $ \xi \neq 0 $ 이고 $ \overline{H}(\xi) > 0 $ 이면, 반사 도함수는 $ \frac{\xi}{|\xi|} \cdot D_\xi \overline{H}(\xi) \geq c(\overline{\mu}) \overline{H}(\xi) \omega(\overline{H}(\xi)) $ 를 만족한다.
• 수렴 속도의 정량적 추정: $ \mathbb{P}(|\delta v^\delta(0,\xi) + \overline{H}(\xi)| > \lambda \omega'(\delta |\log \delta|)) \leq C \exp(-c \lambda^{4 \wedge d}) $.
• 효과적 허밀토니안 $ \overline{H}(\xi) $ 는 $ \inf\{ \mu > 0 : \overline{r}_\mu(\xi/|\xi|) \geq |\xi| \} $ 로 정의되며, 이는 거리 문제의 해와 연결된다.