[논문 리뷰] Homogenization, linearization and large-scale regularity for nonlinear elliptic equations

Scott N. Armstrong, Sam Ferguson외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 01.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 무작위로 변동하는 고주파 성분을 가진 비선형 타원형 편미분방정식에서 동질화와 선형화가 가환함을 입증하며, 최적의 확률적 적분 가능성을 갖는 대규모 $C^{0,1}$ 정규성 추정치를 제공한다. 주요 기여는 해의 대규모 $C^{1,1}$ 추정치와 동질화된 라그랑지안의 향상된 정규성(최대 $C^{2,1}$ 수준까지)을 제시함으로써, 선형 사례를 초월한 양적 동질화 이론을 확장하는 것이다.

ABSTRACT

We consider nonlinear, uniformly elliptic equations with random, highly oscillating coefficients satisfying a finite range of dependence. We prove that homogenization and linearization commute in the sense that the linearized equation (linearized around an arbitrary solution) homogenizes to the linearization of the homogenized equation (linearized around the corresponding solution of the homogenized equation). We also obtain a quantitative estimate on the rate of this homogenization. These results lead to a better understanding of differences of solutions to the nonlinear equation, which is of fundamental importance in quantitative homogenization. In particular, we obtain a large-scale $C^{0,1}$ estimate for differences of solutions---with optimal stochastic integrability. Using this estimate, we prove a large-scale $C^{1,1}$ estimate for solutions, also with optimal stochastic integrability. Each of these regularity estimates are new even in the periodic setting. As a second consequence of the large-scale regularity for differences, we improve the smoothness of the homogenized Lagrangian by showing that it has the same regularity as the heterogeneous Lagrangian, up to $C^{2,1}$.

연구 동기 및 목표

• 비선형 타원형 편미분방정식의 발산형에서의 확률적 동질화에 대한 정량 이론을 개발하기 위해.
• 선형화된 방정식을 만족하는 해의 차이의 대규모 거동을 이해하기 위해.
• 해와 그 차이에 대한 최적의 대규모 정규성 추정치(최적의 확률적 적분 가능성을 갖는 $C^{0,1}$ 및 $C^{1,1}$ 유계성 포함)를 확립하기 위해.
• 동질화된 라그랑지안이 이질적 라그랑지안의 정규성(최대 $C^{2,1}$ 수준까지)을 그대로 이어받는지 입증하기 위해.
• 동질화와 선형화가 가환함을 증명하기 위해, 즉 선형화된 방정식이 동질화된 방정식의 선형화로 수렴함을 입증하기 위해.

제안 방법

• 유일한 타원성과 무작위성, $\mathbb{Z}^d$-정적이고 유한한 영향 범위를 갖는 계수를 가진 발산형 비선형 방정식을 분석한다.
• 방정식의 변분적 구조를 이용해 하향적 양을 정의하고, 하향적 에르고딕 정리를 적용하여 동질화를 증명한다.
• 선형화된 방정식의 정량적 분석을 통해 해의 차이에 대한 대규모 $C^{0,1}$ 정규성 추정치를 확립한다.
• 편미분적 접근을 통해 선형화된 방정식이 해를 중심으로 동질화되어 동질화된 방정식의 선형화로 수렴함을 보인다.
• Campanato 유형 반복과 에너지 추정치를 사용하여 대규모 스케일에서 기울기의 호일더 정규성을 유도한다.
• 동질화 과정에서의 오차에 대한 확률적 모멘트 유계와 대규모 이탈 유형 추정치를 결합하여 정량적 동질화 추정치를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무작위 계수를 가진 비선형 타원형 편미분방정식에서 동질화와 선형화는 가환하는가?
• RQ2 확률적 설정에서 비선형 타원형 편미분방정식의 해의 차이에 대한 최적의 대규모 정규성은 무엇인가?
• RQ3 비선형 및 무작위 설정에서 최적의 확률적 적분 가능성을 갖는 $C^{1,1}$ 정규성 추정치를 확보할 수 있는가?
• RQ4 동질화된 라그랑지안의 정규성은 이질적 라그랑지안의 정규성과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 비선형 방정식의 해를 중심으로 선형화된 방정식의 동질화 수렴 속도는 얼마인가?

주요 결과

• 동질화와 선형화는 가환한다: 해를 중심으로 선형화된 방정식은 동질화된 방정식의 선형화로 수렴한다.
• 최적의 확률적 적분 가능성을 갖는 대규모 $C^{0,1}$ 정규성 추정치가 해의 차이에 대해 확립되었으며, 이는 이전 결과를 향상시킨다.
• 비선형 방정식의 해에 대해 최적의 확률적 적분 가능성을 갖는 대규모 $C^{1,1}$ 정규성 추정치를 확보하였으며, 이는 주기적 경우조차도 새로운 결과이다.
• 동질화된 라그랑지안은 이질적 라그랑지안의 $C^{2,1}$ 정규성을 그대로 이어받는다. 이는 이전 결과에 비해 상당한 향상이다.
• 선형화된 방정식에 대해 정량적 동질화 추정치를 유도하였으며, 이는 길이 척도 비율과 무작위 계수의 모멘트 유계에 따라 달라진다.
• 결과들은 Campanato 유형 반복과 확률적 모멘트 추정치를 기반으로 한 새로운 대규모 정규성 이론을 통해 확립되었다.